Способы перевода чисел в системы счисления с различными основаниями
учебно-методический материал по информатике и икт (8 класс) по теме

Учебно-методический материал по теме «Способы перевода чисел в системы счисления с различными основаниями».

Пояснительная записка

Способы перевода чисел, записанных в системе счисления с основанием «а» в систему счисления с основанием «в», традиционно вызывают у учащихся трудности.

Если переводы из десятичной системы в двоичную и обратные довольно хорошо освещены в литературе, то рекомендации по методам более сложных взаимо-обратных переводов, в том числе и в системы счисления с произвольным (любым) основанием, практически отсутствуют.

Тем не менее, задачи такого плана охотно используются составителями различных тестовых и конкурсных работ, в том числе ГИА и ЕГЭ.

В своем учено-методическом материале я попыталась логически сопоставить основные способы перевода чисел в различные системы и показать учащимся довольно четкие закономерности, помогающие в решении этих вопросов

Двоичная система счисления.

Сначала рассмотрим известную нам, десятичную систему счисления и правила ее построения:

   В ней используются 10 цифр и позиционная система представления чисел, при которой имеет значение место (позиция, разряд), где стоит цифра.

   Пример: 10 цифр – от 0 до 9.

        275=2*10^2+7*10^1+5*10^0

         Цифра   Основание системы счисления

      Пример числа:3715 = 3000+700+10+5

    В компьютерах используют двоичную систему счисления, где только 2 цифры - 0 и 1- (включено и выключено)

     Пример: число 5 – перевести в двоичную систему.

    1*2^2+0*2^1+1*2^0

5.  101

Способы перевода.

           7         6         5         4          3          2         1         0

27. 11011

105. 1101001

Перевод двоичных чисел в десятичную систему.

   1*64+1*16+1*8+1*4=92

Ученики решают примеры по индивидуальным карточкам.

Восьмеричная система счисления.

Восьмеричная система счисления применяется для того, чтобы число или текст, записанные в двоичной системе, было бы легче прочитать и написать, так как большое кол-во нулей и единиц людям использовать тяжело.

Поэтому двоичную запись разделяют на группы по 3 разряда, начиная с младшего, и к каждой группе ставят в соответствие цифру от нуля до семи. (Всего 8 цифр)

Пример: 1 011 100 101 101

     Минимальное число в 3 разрядах:

    000-0

     Максимальное число в 3 разрядах:

    111-7

    Всего получается 8 цифр, что и дало название «Восьмеричная система счисления»

Шестнадцатеричная система счисления.

Так же как и восьмеричная система счисления служит для сокращения двоичной записи и для повышения её наглядности. Шестнадцатеричная система счисления стала появляться в связи с возникновением 32, 64 разрядных процессоров.

Двоичное число разделяется, на группы по 4 и каждой 4 ставится в соответствии одна цифра, но так как максимально четыре двоичных разряда  - это 1111-15, а такой цифры нет, то в шестнадцатеричной системе счисления цифры от 10 до 15 обозначается латинскими буквами.

Использование букв латинского алфавита связанно с математическим понятием ЦИФРЫ.

Цифрой  в математике считается некоторое обозначение числа, причём только одним знаком. Поэтому  у людей двузначное число - 2 цифры, трёхзначное- 3 и т.д. В средние века арабские математики ввели понятие «0», придумали рисунки для обозначения чисел от 0-9,  и эти рисунки стали называть арабскими цифрами, после чего началось развитие алгебры.

Однако с появлением компьютерных технологий и двоичной системы счисления, возникла необходимость в сокращённой записи двоичных кодов, т.е.  в 8-чной, а затем в 16-чной системах счисления. Но если с 8-чной проблем не было (цифры 0-7 людям уже были известны), то в 16-чной возникла необходимость обозначение одним знаком (цифрой) чисел 10, 11….15. По причине всемирного распространения английского языка были выбраны буквы латинского алфавита от A-F

Пример: 1 0101 1110 1101 1110

Способы перевода.

И в восьмеричную и в шестнадцатеричную систему счисления десятичное число можно переводить двумя способами:

1. Используя в качестве промежуточной -  двоичную.

Пример:  38810          1 1000 0100=18416

        11310         1 110 001=1618

2. Напрямую, т.е. делением на 8 или на 16 до получения целого остатка

 Пример:  388  16

32.  24 16

                      68  16 1

                      64    8

                        4

        113        8

         8         14                8

              33       -8         1

       -32         6

1

Если после проверки учитель выясняет достаточную степень усвоения этого материала учениками, можно перейти к более сложной теме:

Система счисления с произвольным основанием.

Зная общие принципы построения систем счисления каждое десятичное число можно представить в виде, который бы соответствовал системе счисления с любым произвольным основанием.

Пример: 38810=3*10^2+8*10^1+8*10^0 –проведем аналогию:

                     6048=6*8^2+0*8^1+4*8^0 – здесь мы видим разложение числа на степени восьмерки, с коэффициентами в интервале 0-7

Представим это число в системе с основанием «5»:

Способ 1:  388  5

35. 77    5

                         38  5      15  5         =30235

                         35  27    15  3              

                           3  25      0

                                 2

        Способ 2:   5^4  5^3  5^2  5^1  5^0

                            625 125   25    5       1

               388=3*5^3+0*5^2+2*5^1+3*5^0=30235

Пример:

Дано число  5  в  двенадцатеричной системе счисления, где цифра  - заменяет 10, а цифра - 11

Переведите это число в десятичную систему счисления.