Исследовательская работа "Формула Пика"
творческая работа учащихся по геометрии (5 класс) на тему

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа с. Николаевка Ивантеевского района Саратовской области»

                                                                         Автор работы: Братчиков Артемий

                                                                         Ученик   5  класса

                                                                         Руководитель: Григорьева Е.В.,

                                              учитель математики  

с. Николаевка

2014 год

СОДЕРЖАНИЕ.

I. Введение…………………………………………………………………….3

II. Формула Пика

        2.1.Из истории ……………………………………………………………6

          2.2.Решетки .Узлы………………………………………… ……………..7

2.3.Делениемногоугольника на треугольники и прямоугольники……8

         2.4. Доказательство теоремы Пика……………………………………..9

         2.5. Исследование       площадей           многоугольников………………11

        2.6. Вывод…………………………………………………………………13

III.Нахождение площади многоугольника по формуле Пика……...14

IV. Теорема Пика на детских рисунках………………………………………...16

V. Заключение……………………………………………………………………18

VI. Список используемой литературы…………………………………………19

1. Введение

Математическое образование, получаемое в общеобразовательных школах, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека.

        На данном этапе, школьная система рассчитана на одиннадцатилетнее обучение.

        Всем учащимся в конце одиннадцатого класса предстоит сдавать Единый Государственный Экзамен, который покажет уровень знаний, полученный во время учебы в школе. Но школьная программа не всегда предоставляет самые рациональные способы решения  каких-либо задач.

Увлечение математикой часто начинается с размышления над какой-то задачей. Так при изучении  темы «Площади многоугольников» на кружке по математике «Занимательная математика» встал вопрос есть ли задачи, отличные от задач рассмотренных в учебники геометрии. Это  задачи на клетчатой бумаге.  У  нас возникали вопросы: в чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге. Учитель показала  такие задачи в контрольно – измерительных материалах ЕГЭ и ГИА, я решил обязательно исследовать задачи на клетчатой бумаге, связанные с нахождением площади изображённой фигуры.

Я  приступил к изучению литературы, Интернет-ресурсов по данной теме. Казалось бы, что увлекательного можно найти на клетчатой плоскости, то есть, на бесконечном листке бумаги, расчерченном на одинаковые квадратики? Не судите поспешно. Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны. Я научился вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке.Для многих задач на бумаге в клетку нет общего правила решения, конкретных способов и приёмов. Вот это их свойство обуславливает их ценность для развития не конкретного учебного умения или навыка, а вообще умения думать, размышлять, анализировать, искать аналогии, то есть, эти задачи развивают мыслительные навыки в самом широком их понимании.

Поэтому, проведя исследования, я выяснил, что существует теорема Пика, которая в школьной программе не изучается, но которая поможет мне быстрее справиться с заданием.

       Мы определили:

  Объект исследования: задачи на клетчатой бумаге

  Предмет исследования: задач на вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге, методы и приёмы их решения.

  Методы исследования: моделирование, сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации.

• Цель исследования:

1. Выяснение существования иной, отличной от школьной программы, формулы нахождения площади решетчатого многоугольника.
2. Области применения искомой формулы.

     Для достижения поставленной цели предусматриваем решение следующих задач:

• Подобрать необходимую литературу
• Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию
• Проанализировать и систематизировать полученную информацию
• Найти различные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге
• Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам.

• Гипотеза:Площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика равна площади фигуры, вычисленной по формуламплощадей из учебника математики.

Многообразие задач на бумаге в клеточку, их «занимательность», отсутствие общих правил и методов решения  вызывают у школьников затруднения при их рассмотрении

       При решении задач на клетчатой бумаге нам понадобится геометрическое воображение и достаточно простые геометрические сведения, которые известны всем.

2. Формула Пика

1. Из истории

Георг Алекса́ндр Пик  (10 августа, 1859 - 26 июля 1942) был австрийским математиком. Он умер в концлагере Терезин. Сегодня он известен из-за формулы Пика для определения площади решетки полигонов. Он опубликовал свою формулу в статье в 1899 году, она стала популярной, когда Хьюго Штейнгауз включил её в 1969 году в издание математических снимков.

Пик учился в Венском университете и защитил кандидатскую в 1880 году. После получения докторской степени он был назначен помощником Эрнеста Маха в Шерльско-Фердинандском университете в Праге. Он стал преподавателем там в 1881 году. Взяв отпуск в университете в 1884 году, стал работать с Феликсом Клейном в Лейпцигском университете. Он оставался в Праге до своей отставки в 1927 году, а за тем вернулся в Вену.

        Пик возглавлял комитет в(тогда) немецком университете Праги, который назначил Альберта Эйнштейна профессором кафедры математической физики в 1911 году.

        Пик был избран членом Чешской академии наук и искусств, но был исключен после захвата нацистами Праги.

        После ухода на пенсию в 1927 году, Пик вернулся в Вену, город, где он родился. После аншлюса, когда нацисты вошли в Австрию 12 марта 1938 года, Пик вернулся в Прагу. В марте 1939 года нацисты вторглись в Чехословакию. Георг был отправлен в концентрационный лагерь Терезин 13 июля 1942. Он умер через две недели.

Формула Пика была открыта австрийским математиком Георгом Пиком в 1899г.

2. Решетки.Узлы.

Рассмотрим на плоскости два семейства параллельных прямых, разбивающих плоскость на равные квадраты; множество всех точек пересечения этих прямыхназывается точечной решеткой или просто решеткой , а сами точки –узлами решетки.

Внутренние узлы   многоугольника - красные.

  Узлы  на гранях  многоугольника - синие.

Чтобы оценить площадь многоугольника на клетчатой бумаге, достаточно подсчитать, сколько клеток покрывает этот многоугольник (площадь клетки мы принимаем за единицу). Точнее, если S – площадь многоугольника, В - число клеток, которые целиком лежат внутри многоугольника, и Г - число клеток, которые имеют с внутренностью многоугольника хоть одну общую точку .

Будем рассматривать только такие многоугольники, все вершины которых лежат в узлах клетчатой бумаги – в таких, где пересекаются линии сетки.

Площадь любого треугольника, нарисованного на клетчатой бумаге, легко посчитать, представив её как сумму или разность площадей прямоугольных треугольников и прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки,проходящим через вершины нарисованного треугольника.

3. Деление многоугольника на треугольники и прямоугольники

Вы, наверное, заметили, что у многоугольных фигур, расположенных на клетчатой бумаге, вершины которых расположены в узлах клеток, нетрудно подсчитать площадь, принимая за единицу площадь одной клетки. При этом приходится разбивать фигуру на прямоугольники и прямоугольные треугольники.

Например, площадь изображённого многоугольника складывается из площадей фигур, площадь которых находится легко:

S1= (3 · 2) : 2 = 3

S2= (1 · 2) : 2 = 1        

S3= (3 · 2) : 2 = 3                

S4= 2 · 2= 4

S5=(1 · 2) : 2 = 1        

Суммарная площадь равна: 3+1+3 + 4+1 = 12.

Площади многоугольников, вершины которых расположены в узлах сетки, можно вычислять ещё проще: есть формула, связывающая площадь такого многоугольника с количеством узлов, лежащих внутри и на его границе. Эта замечательная и простая формула  называется  формулой   Пика.

В нашем примере: В = 10, Г = 6; S = 10 + 3 – 1 = 12

2.4.Доказательство теоремы Пика. 

1. Докажем формулу Пика для прямоугольника со сторонами, идущими по линиям сетки. Возьмем сначала прямоугольник 4 • 5, а затем проверьте в общем виде.

S = 4 • 5= 20

В (красные точки) = 12; Г (синие точки) = 18; S = 12 + 9 – 1 = 20

Доказательство в общем виде:

S = р · р = р2

В = (р-1)·(р-1) = р2 – 2р + 1; Г = 4р;  S= р2 – 2р + 1 + 2р – 1 =р2

Докажем  формулу Пика для прямоугольного треугольника с катетами, идущими по линиям сетки. Возьмите сначала треугольник с катетами 6 и 8, а затем проверьте в общем виде.

S = (6 · 8) : 2 = 24

В = 17; Г = 16;      S = 17 + 8 – 1 = 24\

S =р2 : 2

В = (р-1)·(р-1) = р2 – 2р + 1; Г = 4р;  S= (р2 – 2р + 1 + 2р – 1) : 2 =р2 : 2

Теперь рассмотрим произвольный треугольник. Его можно получить, отрезав от прямоугольника несколько прямоугольных треугольников и, возможно, прямоугольник . Поскольку и для прямоугольника, и для прямоугольного треугольника формула Пика верна, мы получаем, что она будет справедлива  для произвольного треугольника.

2.5. Исследованиеплощадеймногоугольников

Проверим, что если многоугольник разрезан на два многоугольника (все многоугольники имеют вершины в узлах сетки) и для каждой из частей формула Пика верна, то она верна и для всего многоугольника. Достаточно проверить это утверждение по рисунку.

1. Фигура М1:   В= 10;  Г = 8; S = 10 + 4 – 1 = 13

           Фигура М1:   В= 6;  Г = 10; S = 6 + 5 – 1 = 10

Sм1+м2=13 + 10 = 23

2. В = 17; Г  = 14;  S = 17 + 7 -1 = 23

6. Вывод

В итоге, я пришёл к выводу, что существует много различных способов решения задач на нахождение площади, не изучаемых в школьной программе, и показала  их  на примере формулы Пика.

III.Нахождение площади многоугольника по формуле Пика

Вычислим площадь многоугольников, данных в условиях задач из предыдущего пункта, используя формулу Пика, и проверим, всегда ли она применима при решении подобных задач.

1. Найдите площадь треугольника ABC, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Г = 12, В = 4,  S = В + Г/2 – 1 = 4 + 12/2 – 1 = 9

  Ответ: 9.

2.Найдите площадь трапеции ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Г = 10, В = 5, S = В + Г/2 – 1 = 5 + 10/2 – 1 =9

   Ответ: 9.

3.Найдите площадь треугольника ABC.            

 Г = 7,  В = 5,  S = В + Г/2 – 1= 5 + 7/2 – 1= 7,5

  Ответ: 7,5.

4. Найдите площадь прямоугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Г = 6, В = 8, S = В + Г/2 – 1 = 8 + 6/2 – 1 = 10

Ответ: 10.

5.Найдите площадь ромба ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Г = 4, В = 7, S= В + Г/2 – 1 = 7+4/2-1 = 8    

   Ответ: 8.

6.Найдите площадь трапеции ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

 Г= 10, В= 5,  S= В + Г/2 – 1= 5 + 10/2 – 1= 9  

  Ответ: 9.

7. Найдите площадь четырехугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Г= 4, В= 7, S = В + Г/2 – 1=7 + 4/2 – 1= 8

  Ответ: 8.

8. Найдите площадь четырехугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Г= 4, В= 5, S = В + Г/2 – 1= 5 + 4/2 – 1= 6

    Ответ: 6.

IV.Теорема Пика на детских рисунках.

V. Заключение

         В процессе исследования я изучил справочную, научно-популярную литературу. Узнал , что  задача на нахождение площади многоугольника с вершинами в узлах сетки сподвигла австрийского математика Пика в 1899 году доказать замечательную формулу Пика.

        В результате моей  работы я расширил свои  знания о решении задач на клетчатой бумаге, определил для себя классификацию исследуемых задач, убедился в их многообразии.  

Я научился вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке      Рассмотренные  задания имеют различный уровень трудности – от простых до олимпиадных. Каждый может найти среди них задачи посильного уровня сложности, отталкиваясь от которых, можно будет переходить к решению более трудных.

Я пришёл к выводу, что тема, которая меня заинтересовала, достаточно многогранна, задачи на клетчатой бумаге многообразны, методы и приёмы их решения также разнообразны. Поэтому я решил продолжить работу в этом направлении.

VI. Литература

1.Геометрия на клетчатой бумаге. Малый МЕХмат МГУ.

2.Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17, с. 24-25.

3.Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2010 – 2011

4.В.В.Вавилов, А.В.Устинов .Многоугольники на решетках.М.МЦНМО,2006.

5.Мтематические этюды.etudes.ru

6.Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.Геометрия .7-9 классы.М. Просвещение ,2010