Площадь многоугольника. Формула Пика. Рефератно - исследовательская работа
презентация к уроку по алгебре (8 класс) на тему

Слайд 1

Слайд 2

Актуальность работы Математическое образование, получаемое в общеобразовательных школах, является важнейшим компонентом общего образования На данном этапе, школьное образование рассчитана на одиннадцатилетнее обучение. Все обучающиеся в конце одиннадцатого класса сдают ЕГЭ. Этот экзамен покажет уровень знаний, полученный во время учебы в школе. Но школьная программа не всегда представляет рациональные способы решения каких- либо задач. Увлечение математикой часто начинается с размышления над какой- то задачей. В сборниках по подготовке к ЕГЭ и ОГЭ мне встретились задания на нахождение площади многоугольника, построенного на клетчатой бумаге с вершинами в узлах клеток. Меня это очень заинтересовало. Решение этой задачи потребовалось немало времени, дополнительных построений и знаний формул площадей прямоугольников и прямоугольных треугольников. Так возник вопрос, а можно ли находить площади таких многоугольников другими способами? Так появилась моя исследовательская работа» Площадь многоугольников». Задачи связанные с бумагой в клеточку разнообразны. Такие задачи считаются занимательными( в курсе геометрии не изучаются) и немногие авторы посвятили этой теме свои работы.

Слайд 3

Цели и задачи Цель: Исследование методов нахождения площади многоугольников . Задачи: Изучить литературу по данной теме, определить наиболее интересные методы нахождения площадей многоугольника. Проанализировать полученные результаты. Провести практическую работу по нахождению площади многоугольника различными методами.

Слайд 4

Предмет исследования.Гипотеза . Метод исследования Гипотеза. Можно предположить, что существуют различные методы нахождения площадей многоугольников, построенных на клетчатой бумаге с вершинами в узлах клеток . Предмет исследования: Процесс вычисления площадей многоугольников различными методами . Метод исследования: из учение литературы по выбранной теме, графическое моделирование, анализ и классификация полученных результатов.

Слайд 5

Практическая значимость. Практическое применение результатов Практическая значимость. Задачи на клетчатой бумаге помогают, как можно раньше формировать геометрические представления в разнообразном материале. Метод разбиения сложной фигуры на простые, применение формул нахождения площадей некоторых фигур и формула Пика позволяют в каждом конкретном случае решать задачу рационально, а также проверить полученный результат. Практическое применение результатов. В качестве практического исследования мы решили одну и туже геометрическую задачу всеми четырьмя методами. Это задача на вычисление площади параллелограмма.

Слайд 6

Метод непосредственного применения формул. В школьном курсе геометрии изучаются формулы нахождения площади многоугольников: квадрата, прямоугольника, произвольного треугольника, трапеции, параллелограмма, ромба. Если заданный многоугольник является одним из данных многоугольников, то нахождение площади сводится к вычислению длин нужных элементов фигуры по клеткам ( высоты, основание, диагоналей и т.д.) и выполнение расчетов по готовым формулам.

Слайд 7

Вычисление площади параллелогра м ма по формуле 14 h 8 а = а * h = 1 4 * 8 = 1 1 2 14 h 8 а s = а * h = 1 4 * 8 = 1 1 2

Слайд 8

Метод сложения площадей Данный многоугольник разбивается с помощью вертикальных и горизонтальных отрезков так, чтобы вся фигура была разбита на прямоугольники и прямоугольные треугольники. Сумма всех площадей фигур, полученных в результате такого разбиения равна площади данного многоугольника.

Слайд 9

Вычисление площади параллелограмма методом сложения площадей 10 4 8 S S2 8 S1 S3 4 10 S1 =4* 8/2 =16 S2= 10* 8 =80 S3= 4* 8 /2=1 6 S об = S1+ S2+ S3= 16+ 80+ 16= 112

Слайд 10

Метод вычитание площадей Вокруг данного многоугольника строится четырёхугольник так, чтобы его стороны содержали максимальное количество вершин многоугольника и были либо горизонтальны, либо вертикальны. В этом случае площадь описанного прямоугольника и площади фигур. являющимися дополнениями данной фигуры до прямоугольника. Как правило эти фигуры будут прямоугольником и прямоугольными треугольниками. Далее из площади построенного прямоугольника вычитаются сумма площадей всех дополнительно построенных фигур и получается площадь первоначальной фигуры.

Слайд 11

Вычисление площади параллелограмма методом вычитания площадей 4 10 S2 8 8 S1 1 0 S пр= (4+14+ 4)* 8 =144 S1=S2 =4*8/ 2=16 4 S пар= S пр - 2 S1= 144 -2* 16= 112

Слайд 12

Формула Пика Площадь многоугольника , вершины которого расположены в узлах клеток, можно вычислить более простым способом. Есть формула, связывающая его площадь с количеством узлов лежащих внутри и на границе многоугольника. Это формула Пика. S = A +В/2 -1 , где А- число узлов внутри многоугольника, В- число узлов на границе. Чтобы вычислить площадь многоугольника по формуле Пика, чертёж должен быть чётким и очень внимательно его рассматривать, чтобы определить лежит ли данный узел внутри фигуры или же попал на её границу.

Слайд 13

Исторические сведения о формуле Пика. Автор формулы – Георг Алесандр Пик ( годы жизни 10 августа 1859- 13 июля 1942), австрийский математик. Георг был одаренным ребенком. Его обучал отец, который возглавлял частный институт. В 16 лет закончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику. В 1880 защитил докторскую диссертацию « О классе абелевых интегралов» под руководством Лео Кёнигсбергера . С его именем связаны матрица Пика, интерполяция Пика-Неванлинны , лемма Шварца-Пика. Но больше всего он известен своей теоремой, которая появилась в 1899 году.

Слайд 14

Вычисление площади параллелограмма по формуле Пика 10 8 S=8 *10 =80 А= 67 В= 28 S= А+В /2- 1= 67+ 28/ 2- 1= 80

Слайд 15

Заключение.Выводы . Заключение. В своей исследовательской работе я хотел доказать, что нахождение площади многоугольника может стать интересным и познавательным занятием. Выводы. - Существуют различные методы нахождения площади многоугольника. - Клетчатая бумага может выполнять функцию инструмента , который служит для вычисления площади многоугольника. - С помощью формулы Пика можно найти площадь любого многоугольника, построенного на клетчатой бумаге с вершинами в узлах клеток. - Полученные результаты можно использовать для подготовки выпускников к сдаче ЕГЭ и ОГЭ и олимпиадных заданий.

Слайд 16

Список литературы В.Н.Ганьшин Простейшие измерения на местности, 3-е издание, переработанное и дополненное; М.Недра.1983. В.А. Смирнов, И.М. Смирнов Геометрия на клетчатой бумаге. М. МЦМО .2009. В.В.Вавилов, А.В.Устинов Задачи на клетчатой бумаге. М. Школа им. А.Н. Колмогорова. 2006 А.В.Семенов, И.Р.Высоцкий, И.В. Ященко Сборник заданий по ЕГЭ и ОГЭ.М. « Интеллект - центр» 2015-2016 М.Гарднер Математические чудеса и тайны .М. Наука. Список интернет- ресурсов: 1.http:// hijos.ru /2011/09/14/ formula-pika / сайт « Математика, которая мне нравится». 2. http:// kwant.ras.ru /1970/12/ vokrugformuly - pika / htm журнал “ Квант» статья Н.Б.Васильева « Вокруг формулы Пика»

Слайд 17

Приложение Площадь треугольника Треугольник – это многоугольник, имеющий три вершины и три стороны, которые последовательно эти вершины соединяют. a – сторона треугольника h – высота треугольника A , B , C – вершины треугольника S= 1/2 ah

Слайд 18

Приложение Площадь четырехугольника Четырехугольник – это многоугольник, имеющий четыре вершины и четыре стороны, которые последовательно эти вершины соединяют. d 1 , d 2 – диагонали четырехугольника α – угол между диагоналями четырехугольника A , B , C , D – вершины четырехугольника Площадь четырехугольника ( S ) равна половине произведения его диагоналей ( d 1 , d 2 ) на синус угла ( α ) между ними: S =1/2 d1d2sinα

Слайд 19

Приложение Площадь параллелограмма Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны. a – сторона параллелограмма h – высота, проведенная к стороне а A , B , C , D – вершины параллелограмма Площадь параллелограмма ( S ) равна произведению его стороны ( a ) на высоту, проведенную к этой стороне ( h ): S = ah

Слайд 20

Приложение .Площадь парпллелограмма

Слайд 21

Приложение Площадь ромба Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. d 1 , d 2 – диагонали ромба A , B , C , D – вершины ромба Площадь ромба ( S ) равна половине произведения его диагоналей ( d 1 , d 2 ): S =1/2 d 1 d 2

Слайд 22

Приложение . Площадь ромба.

Слайд 23

Приложение. Площадь прямоугольника. Площадь прямоугольника Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам). a , b – стороны прямоугольника A , B , C , D – вершины прямоугольника Площадь прямоугольника ( S ) равна произведению его сторон ( a , b ): S = ab

Слайд 24

Приложение. Площадь прямоугольника.

Слайд 25

Приложение. Площадь квадрата. Площадь квадрата Квадрат – это параллелограмм , у которого все углы и все стороны равны. а – сторона квадрата A , B , C , D – вершины квадрата Площадь квадрата ( S ) равна квадрату его стороны (а)

Слайд 26

Приложение. Площадь квадрата

Слайд 27

Приложение. Площадь многоугольника. Площадь многоугольника Многоугольник – это геометрическая фигура, которая ограничена замкнутой ломаной линией. Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все углы и все стороны равны. S =а *а n /4 tq 360/2 n a – сторона правильного многоугольника A , B , C , D , E , F – вершины многоугольника

Слайд 28

Приложение. Площадь трапеции Площадь трапеции Трапеция – это четырехугольник, у которого параллельна только одна пара противоположных сторон. a , b – основания трапеции h – высота трапеции A , B , C , D – вершины трапеции Площадь трапеции ( S ) равна половине произведения суммы его оснований ( a , b ) на высоту трапеции ( h ): S =( a + b )/2* h

Слайд 29

Приложение . Площадь трапеции.

Слайд 30

Вычисление площади многоугольника методом сложения.

Слайд 31

Вычисление площади многоугольника по формуле Пика.