Задачи с решениями по теме: "Множества и операции над ними"
консультация по математике по теме

ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ

1. Показать с помощью диаграммы Эйлера-Венна, что:

а) (АВ)  A = A;  б) (АВ)  (А) = A.

Решение:

а)

 б)

2. Доказать (проиллюстрировать) на содержательном примере справедливость соотношения:

а) А\B ≠ B\А;                     б) А(ВC) = (АВ)(АC).

Решение:

а) Пусть А = { *, •, #, ?, ם, о}, B = {*, Δ, #, +}.

А\B = {•, ?, ם, о}, B\А = {Δ, +}.

Сравнение множеств А\B и B\А свидетельсвуют о том,  что они не равны и, следовательно, подтверждают некоммутативность операции разности множеств.

б) Пусть А = {*, •, #}, B = { ם}, C={о, +, ם, #}.

А(ВC)= {*, •, #, ם} –  множество, состоящее в левой части равенства.

АВ = {*, •, #, ם},  АC  = {*, •, #, о, +, ם }.

Множество, соответствующее правой части равенства: (АВ)(АC) = {*, •, #, ם }.             Множества левой и правой части совпали.

3. Пусть  А = {1,3,5}.  Образовать все возможные подмножества этого множества.

Решение:

А1 = {1,3,5};  А2 = {1,3};   А3 = {1,5};   А4 = {3,5};   А5 = {1};   А 6  = {3};   А7  = {5};   А8 ={}.

4. Найти декартово произведение множеств А и В, если   А = {1, 3}; В = {2, 4, 6}.

Решение:

А x В = { ‹ 1, 2 ›; ‹ 1, 4 ›; ‹ 1, 6 ›; ‹ 3, 2 ›; ‹ 3, 4 ›; ‹3,6› }.

5. Даны множества. Выполнить действия над множествами:

а) Пусть   . Осуществить над множествами операции:

–  объединения;

–  пересечения;

–  разности;

–  дополнения.

б) Пусть  A = [−2; 1] и B = (0; 3).  Найти  , .

в) Пусть A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19}.                  Найти A \ B  и  B \ A.

г) Пусть   A = {1, 3},   B = {2, 3, 4},  С = {2, 4}, U = {1, 2, 3, 4}.

Найти    ;  .

д) Пусть    и . Найти   и  .

е) Пусть   A = {1, 3},   B = {2, 3, 4},  С = {2, 4}, U = {1, 2, 3, 4}.

Найти   A ;  (B \ С )  A.

Решение:

а)

– объединение множеств    А1    и    А2     содержит все элементы, принадлежащие множествам  А1   и   А2 :

А1  А 2 = { a,b,c,d,e,f };

– пересечение множеств А1    и    А2     содержит только элементы, принадлежащие и первому и второму множествам:

А1  А 2  = { с };

– используя определение разности множеств, получаем:

А1  \ А 2 = { a,b };     А2  \ А1 = { d,e,f };    

– дополнение  содержит только те элементы множества U, которые не принадлежат А1:

= U \ А1 = { d,e,f }, аналогично

 U \ А2 ={ a,b }.

б) ;       .

в) A \ B = {2, 4, 6, 8};   B \ A = {11, 13, 17, 19}.

г)  Найдем .

 – это дополнение множества  A  до множества  U, т.е., чтобы получить   из элементов множества  U = {1, 2, 3, 4}, исключим элементы множества   A = {1, 3}. Получаем

= U \ A = {1, 2, 3, 4} \ {1, 3} = {2, 4}.

Аналогично вычислим дополнение множества B  до универсального множества  U. Оно содержит только те элементы, которые не принадлежат множеству  B:

 = U \ B = {1, 2, 3, 4} \ {2, 3, 4} = {1}.

Итак, объединение = {2, 4}{1} = {1, 2, 4}.

Определим .

Найдем множество АВ. Оно содержит только те элементы, которые принадлежат  множеству    A = {1,3} и множеству B = {2, 3, 4}. Очевидно, что такой элемент только один. Получаем, что АВ = {3}.

Дополнение   содержит только те элементы универсального множества U, которые не принадлежат множеству АВ.

 = U \ (АВ).

Окончательно получаем:

 = {1, 2, 3, 4} \ {3} = {1, 2, 4}.

д) ;    .

е) Найдем множество A .

Дополнение множества B  до универсального множества  U. Оно содержит только те элементы, которые не принадлежат множеству  B:

 = U \ B = {1, 2, 3, 4} \ {2, 3, 4} = {1}.

A содержит только те элементы, которые принадлежат и множеству A и множеству . Легко видеть, что такой элемент только один:

A = {1, 3}{1} = {1}.

Определим, что представляет собой множество  (B \ С )  A.

Разность множеств B и С – это множество, состоящее только из тех элементов множества B, которые не содержатся в множестве  С:  B \ С = {2, 3, 4} \ {2, 4} = {3}.

Объединяя полученное множество с множеством  A, получаем:

(B \ С)  A =  {3}{1, 3} = {1, 3}, так как один и тот же элемент не указывают несколько раз.

6. Даны множества   U = {a,b,c,d,e,f,p,g};  А = {a,c,e,p};  В ={b,d,f,p};  C = {a,d,f,g}.

Показать, что  А \ ( ВC ) = (А \ В) \ C.

Решение:

В C = {a,b,d,f,p,g};    А \ ( ВC ) = {c,e}.

(А \ В) = { a,c,e };              (А \ В) \ C = {c,e}.

Итак,  А \ ( В C ) = (А \ В) \ C = {c,e}.  

7. Решить задачу.

Пусть универсальное множество U – множество всех преподавателей и студентов колледжа; А – множество всех преподавателей; B – множество студентов, успевающих  по всем дисциплинам на «отлично»; C – множество неуспевающих студентов; D – множество студентов в группе № 1.

Каков содержательный смысл каждого из следующих множеств:

а) ;     б) ;      в) ;     г) ;      д) .

Решение:

а)  – множество всех студентов колледжа (без преподавателей);

б) – множество преподавателей и студентов, кроме успевающих по всем предметам на «отлично»;

в)  – множество отличников, обучающихся в группе № 1;

г)   –   множество студентов группы № 1, справляющихся с учебным планом;

д)  – множество преподавателей и всех успевающих студентов.