План-конспект урока № 5. Геометрия 11 класс.
план-конспект урока по геометрии (11 класс) на тему

План-конспект урока № 5. Геометрия 11 класс.

Система координат в пространстве. Простейшие задачи в координатах

Цели урока:

• Изучить определение и свойства вектора системы координат  в пространстве
• Научить учащихся пользоваться этим определением на практике
• Уметь находить координаты векторов, середина отрезка, сумму и разность векторов
• Повторение ранее изученного материала.
• Формирование умения решать задачи.
• Реализация принципов связи теории и практики.
• Развитие памяти, речи, любознательности, познавательного интереса.

Ход урока.

1. Дан прямоугольный параллелепипед, измерения которого равны 6;4;4 (см. рисунок).

 Определите координаты его вершин.

2.) Задача Координаты треугольной  призмы

Вводим систему координат:

1. Начало координат — в точке A;
2. Сторону призмы принимаем за единичный отрезок, если иное не указано в условии задачи;
3. Ось x направляем по ребру AB, z — по ребру AA1, а ось y расположим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью основания ABC.

Здесь требуются некоторые пояснения. Дело в том, что ось y НЕ совпадает с ребром AC, как многие считают. А почему не совпадает? Подумайте сами: треугольник ABC — равносторонний, в нем все углы по 60°. А углы между осями координат должны быть по 90°, поэтому сверху картинка будет выглядеть так:

Надеюсь, теперь понятно, почему ось y не пойдет вдоль AC. Проведем в этом треугольнике высоту CH. Треугольник ACH — прямоугольный, причем AC = 1, поэтому AH = 1 · cos A = cos 60°; CH = 1 · sin A = sin 60°. Эти факты нужны для вычисления координат точки C.

:

3.) Задача Координаты четырехугольной пирамиды

Мы разберем только самый простой случай — правильную четырехугольную пирамиду, все ребра которой равны единице. Однако в настоящих задачах C2 длины ребер могут отличаться, поэтому ниже приведена и общая схема вычисления координат.

Итак, правильная четырехугольная пирамида. Обозначим ее SABCD, где S — вершина. Введем систему координат: начало в точке A, единичный отрезок AB = 1, ось x направим вдоль AB, ось y — вдоль AD, а ось z — вверх, перпендикулярно плоскости OXY. Для дальнейших вычислений нам потребуется высота SH — вот и построим ее. Получим следующую картинку:

Теперь найдем координаты точек. Для начала рассмотрим плоскость OXY. Здесь все просто: в основании лежит квадрат, его координаты известны. Проблемы возникают с точкой S. Поскольку SH — высота к плоскости OXY, точки S и H отличаются лишь координатой z. Собственно, длина отрезка SH — это и есть координата z для точки S, поскольку H = (0,5; 0,5; 0).

Заметим, что треугольники ABC и ASC равны по трем сторонам (AS = CS = AB = CB = 1, а сторона AC — общая). Следовательно, SH = BH. Но BH — половина диагонали квадрата ABCD, т.е. BH = AB · sin 45°. Получаем координаты всех точек:

Домашнее задание:

1. Найти координаты  вершин четырехугольной пирамиды, у  которой в основании квадрат со стороной 2, боковые ребра равны 4.
2. Найти  координаты треугольной  призмы, в основании равносторонний треугольник со стороной 3,  боковые ребра равны 4