10 класс. Тема "Цикл Карно и энтропия"
статья по физике (10 класс) на тему

10 класс. Тема «Цикл  Карно и энтропия»

Некрасов Александр Григорьевич,  учитель физики, к.х.н.

Статья отнесена к разделу: Преподавание физики.

Тема: «Цикл Карно».

Форма: урок-лекция.

Цели:

1. Развивать у учеников интерес к техническому прогрессу, уважение к научным достижениям ученых и инженеров.
2. Изучить принцип работы идеального теплового двигателя, работающего по замкнутому циклу Карно.
3. Показать значимость применения тепловой машины в жизни человека.

В [1] и [2] рассматривается распределение молекул идеального газа по объему сосуда 2V при малом и большом количестве молекул 2N и для каждого случая было введено понятие термодинамической вероятности состояния W, равной числу различных микросостояний, которыми осуществляется данное макросостояние газа, характеризуемое числами молекул ν и 2N- ν в левой и правой половине сосуда (см. рис.). При этом было установлено,

равномерное распределение (ν=2N-ν=N) осуществляется максимальным числом способов и является наиболее вероятным, и поэтому практически подавляющую часть времени система (газ) будет находится в этом состоянии или близком к нему (относительные отклонения порядка 1N). Подобный статистический подход применим и к любым другим системам (твердым, жидким или газообразным), состоящим из большого числа молекул N≫1. Статистически состояние такой системы будет характеризоваться аналогичной величиной W, равной числу различных микросостояний, которыми осуществляется данное макросостояние. Система, для различных возможных микросостояний, характеризуемых внешними параметрами (например, объемом V, температурой T и давлением p), подавляющее время будет находиться в состоянии с максимальной термодинамической вероятностью Wмакс. Если же искусственно перевести систему в состояние с меньшей термодинамической вероятностью W, то за счет хаотического молекулярного движения она самопроизвольно (и достаточно быстро) перейдет в состояние , соответствующее W=Wмакс. В качестве примера рассмотрим следующий случай, когда все молекулы газа загнаны в одну (левую) половину сосуда, отделенную перегородкой от пустой второй половины. Если в какой-то момент времени прорвать эту перегородку, то

газ окажется в неестественном состоянии с термодинамической вероятностью W=1, которая относительно ничтожно мала по сравнению с Wравн макросостояния, соответствующего равномерному распределению газа с одинаковым числом молекул газа в обеих половинах сосуда. Естественно, за время движения молекул газа до края пустовавшей ранее правой половины сосуда, газ перейдет в наиболее вероятное состояние. Этот пример расширения газа в пустоту является необратимым процессом. Если вернуть систему в исходное состояние, то в окружающем мире остаются необратимые изменения, сводящиеся к тому, что часть энергии упорядоченных механических движений окружающих тел  перешла в энергию хаотического молекулярного движения других тел. Действительно, в процессе сжатия поршень должен затратить некоторую работу ∆A` , и тем самым сообщить газу некоторое количество энергии за счет уменьшения энергии упорядоченных механических движений связанных с ним тел. Эту избыточную энергию газ затем передаст другим окружающим телам, увеличивая общую энергию хаотических тепловых движений и взаимодействий их молекул на величину ∆Q`, называемую количеством переданного тепла. Этот процесс должен быть изотермическим и по первому закону термодинамики следует, что  

∆A`=∆Q`.

    Величина термодинамической вероятности W не совсем удобна в качестве количественной меры степени молекулярного хаоса, хотя бы потому, что она выражается астрономически огромными цифрами, а если система состоит из нескольких частей и для каждой вычислены значения Wi i=1,2,3…,k, уже сами по себе не малые числа, то число макросотояний, которыми осуществляется данное макросостояние системы в целом

W=Wi, при перемножении еще многократно возрастает. Поэтому в статистической физике и термодинамике принято количественной мерой степени молекулярного хаоса принимать не саму величину W, а ее логарифм, точнее функцию

S=klnW, 

называемую энтропией. Множитель пропорциональности k=1,38∙10-23Дж/K называется постоянной Больцмана. В отличие от мультипликативности W, величина S аддитивна:

S=klnWi=klnWi=klnWi=Si=S1+S2+…+Sk. 

Так, при поступательном движении тела все его молекулы движутся с одной и той же скоростью (упорядоченное механическое движение тела), следовательно, Wмех=1, а отсюда и Sмех=kln1=0, т.е. в отсутствие беспорядка энтропия системы равна нулю.

   Пусть обратимо сжимаемый или расширяемый изотермически  (T=const) идеальный газ в некоторый момент времени занимает объем V, то, рассматривая его как систему, состоящую из N отдельных частей-молекул, очевидно, что для каждой из этих молекул величина Wi пропорциональна объему V и для всего газа в целом W=Wi=WiN~VN или W=cWN. Для одного моля молекул N=NAи kNA=R, имеем

S=klnW=kNlnV+klnc=RlnV+const, 

И при изменении объема от значения V1 до V2 энтропия газа изменяется на величину

∆S=S2-S1=RlnV2-RlnV2=RlnV2V1.  

Для изотермического процесса уравнение Менделеева - Клапейрона имеет вид

pV=RT=const. Поэтому изотермический процесс изображается в индикаторной диаграмме равнобочной гиперболой. Работа, совершаемая газом при расширении (или над газом при сжатии) от V1 до V2, рассчитывается по формуле

∆A=V1V2pdV=V1V2RTdVV=RTV1V2dVV=RTlnV2V1 .

В соответствии с первым началом термодинамики для изотермического процесса ∆A=∆Qобр, следовательно, и

∆Qобр=RTlnV2V1. 

Тогда

∆S=∆QобрT .

Поскольку любой процесс изменения макроскопических параметров (p,V,T) можно

представить как последовательность бесконечно малых изотермических участков, то можно определять энтропию как функцию S=fp,V,T [2]:

∆S=12dQT , где 1 и 2 означают начальное и конечное состояние системы. Для примера рассмотрим, чему равно изменение энтропии в адиабатном процессе. Из отсутствия теплообмена автоматически следует, что изменение энтропии ∆S=0T=0 тождественно и адиабатический процесс должен быть обратимым. Выходит, что при адиабатном процессе суммарный беспорядок в мире не изменяется. Вопрос о причине отсутствия возрастания беспорядка у рабочего тела-газа в адиабатном процессе решается более тонко. С одной стороны, при расширении объем газа возрос и пространственный беспорядок должен увеличиться. С другой же стороны, произошло понижение температуры газа (вдоль адиабаты температура газа падает при расширении), снизилась средняя энергия хаотического теплового движения и изменилось распределение молекул по скоростям [2]. На рисунке показано, как изменилось это распределение Максвелла с охлаждением. При начальной более высокой температуре T1 это распределение было очень широким и молекулы время от времени могли приобретать весьма значительные скорости, сильно отличающиеся от средней. При понижении же температуры до T2 распределение стало значительно более узким и столь большие значения скоростей, как при прежней температуре T1, стали значительно более редкими, а следовательно, и число различных по скоростям микросостояний резко уменьшилось. Получившееся при охлаждении уменьшение скоростного беспорядка, таким образом, полностью скомпенсировало возрастание пространственного беспорядка от расширения. Вот почему при адиабатическом расширении газа общий беспорядок остался неизменным, и приращение энтропии газа стало равным нулю.

    Рассмотрим теплообмен при конечной разности температур. При соприкосновении двух тел с различной температурой T1  и T2 более горячее тело передает более холодному некоторое количество тепла Q. При этом уменьшается степень молекулярного беспорядка у горячего тела. Количественной мерой этого снижения беспорядка является отрицательное значение изменения энтропии горячего тела ∆S1=∆Q1T1=-QT2. В свою очередь, молекулярный хаос в холодном теле возрастает и его энтропия получает положительное приращение ∆S2=∆Q2T2=+QT2>0. Изменение энтропии обоих тел в целом равно

∆S=∆S1+∆S2=-QT1+QT2=QT1T2T1-T2>0 

положительно, т.е. степень молекулярного хаоса в мире возросло.

    Весьма прозорливо С. Карно сконструировал свой идеальный цикл, состоящий из двух изотерм и двух адиабат – процессов полностью обратимых и не увеличивающих степени молекулярного хаоса в мире. Однако, после введения понятия энтропии и ее статистического смысла, нет необходимости ограничиваться применением в качестве рабочего тела только идеальным газом. Поскольку все участки цикла Карно представляют собой обратимые процессы, то полное изменение энтропии всей системы за цикл должно равняться нулю. Отвлекаясь от природы рабочего тела, приравняем это изменение энтропии системы сумме изменений энтропии каждого из четырех участвовавших тел:

0=∆Sраб.тела+∆Sнагр+∆Sхолод+∆Sпоршня=0+-Q1T1+Q2T2+0. 

Отсюда видно, что Q1Q2=T1T2 и можно вычислить искомый КПД:

η = AQ1=(Q1-Q2)Q1=1-T1T2. 

     Этот результат в точности совпадает с гениальной догадкой С. Карно, сделанной еще тогда, когда не был сформулирован закон сохранения энергии, и теплота представлялась в виде некоей жидкости («теплорода»), содержащейся в телах и переливающейся из одного тела в другое. Она в свое время указала, каков может быть при данных условиях максимальный КПД теплового двигателя при идеальном его выполнении и ликвидации всех наблюдаемых на практике необратимых потерь. Отсюда же следует указания на реальные пути повышения этого КПД – снижение температуры холодильника и повышение температуры нагревателя. По последнему пути и пошло совершенствование техники в ХХ веке – использование пара как можно более высоких параметров в турбинах и прямоточных котлах Рамзина.

Литература

1. Зисман Г. А., Тодес О. М. Курс общей физики. М.: «Наука», Т. 1. 1974.
2. Большой справочник. Физика для школьников и поступающих в вузы. М.: Дрофа. 2008.