ПРОЕКТ «Методика подготовки выпускников решению задач по теме «Задачи на проценты» , включенных в ОГЭ по математике. Разработка системы индивидуальных заданий»
материал для подготовки к егэ (гиа, 9 класс) по теме

ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) Федеральный университет»

Приволжский межрегиональный центр повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования

ПРОЕКТ

«Методика подготовки выпускников решению задач по теме «Задачи на проценты» , включенных в ОГЭ по математике. Разработка системы индивидуальных заданий»

Авторы проекта

 Майоров Петр Иванович

учитель математики МБОУ «Тоншерминская СОШ» Тетюшского муниципального района РТ

Ефремова Наталья Валерьевна

учитель математики МБОУ «Гимназия №1» г.Лаишево

                                    Научный руководитель                                       Ахметшина Гульсия Хабриевна

Казань – 2014

Содержание:

1. Постановка проблемы……………………………………………….………...3
2. Цель проекта……………………………………………………….…………..3
3. Задачи проекта…………………………………………………..……………..3

4.  Ожидаемые результаты реализации проекта………………………...……..4

5. Методы диагностики…………………………………………………..…….2

6. Целевая группа проекта…………………………………….…………………5

7. Срок реализации проекта……………………………….………………….….5

8.Место реализации проекта……………………………………………………5

9. Этапы реализации проекта…………………….……………….…………..…5

10.План мероприятий по реализации проекта...………………………………...6

11.   Введение……..…………….…………………………………………..........8

12.  Основная часть…………………………………….………………………...11

 12.1. Анализ исходной ситуации………………………………………… 11

 12.2. Постановка проблемы и способы её решения………...…………...16

 12.3. Планируемые образовательные результаты……………………….17

 12.4. Реализация проекта………………….……………………………….18

 12.5. Продукт проектной деятельности…………………………………..21

13. Заключение……………………………………………………………..……22 14. Ресурсы……………………………………………………………..……...…23

15.Литература и ресурсы…….………………………………………….….....25

16. Приложение……...………………………………………………..................26

                                 Постановка проблемы 

         В настоящее время оперирования процентами при всевозможных банковских операциях, а так же в повседневной жизни человека является неизбежным, поэтому   задачам на проценты, в частности к трём главным: нахождению нескольких процентов от числа, нахождению числа по данной величине его процентов, нахождению процентного отношения чисел - сегодня должно быть новое отношение. Навыки работы с задачами на проценты потребуются человеку на протяжении всей его трудовой жизни.

Предлагаемая программа поможет объединить разрозненные знания учащихся в целостную систему. На изучение темы «Проценты» в курсе математики отводится очень небольшое количество часов, а повторное обращение к данной теме не предусмотрено. Но текстовые задачи на проценты включены в материалы итоговой аттестации за курс основной школы, в КИМы и ЕГЭ, в конкурсные экзамены. Однако практика показывает, что задачи на проценты вызывают затруднения у учащихся и очень многие окончившие школу не имеют прочных навыков обращения с процентами в повседневной жизни. Понимание процентов и умение произ-водить процентные расчеты в настоящее время необходимы каждому человеку: прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, демографическую, экологическую, социологическую и другие стороны нашей жизни.

Цель проекта

1. Методика подготовки выпускников к решению задач по теме « Задачи на проценты», включенных в ГИА по математике. Разработка  системы индивидуальных заданий.

Задачи проекта:

1) Изучить исторический, практический, теоретический материал по интересующему вопросу.

2) Систематизировать задачи на проценты по типам.

3) Составить практические рекомендации по решению задач на проценты.

4) Выявить практическое применение таких задач.

Ожидаемые результаты реализации проекта

1. Изучение, анализ и систематизация  методических проблем при решении задач  по теме « Задачи на проценты», включенных в ГИА по математике
2. Разработка методики формирования составляющих учебно-практических умений учащихся при решении задач по теме « Задачи на проценты», включенных в ГИА по математике.
3.  Поверка эффективности разработанной методики в реальном учебном процессе.

Методы диагностики

1. Проведение входного тестирования.

2. Проведение итогового тестирования.

3.Оценка повышения качества знаний, в результате четкого усвоения материала.

4. Анализ результатов ГИА в его экспериментальной части.

Целевая группа проекта

Учащиеся 9 класса (контрольная группа -8 класс)

Участники проекта

Учащиеся 8-9 классов

Партнеры проекта

Для организации тренировочно-диагностических работ – РОО, СТАТГРАД.

Срок реализации проекта

 2013-2015 гг.

Место реализации проекта

МБОУ «Тоншерминская СОШ» Тетюшского муниципального района РТ

МБОУ Гимназия№1 г. Лаишево

Этапы реализации проекта

1. Подготовительный (2.10.13-2.11.13)

2. Основной (ноябрь 2013г. – май 2014г.)

3. Заключительный (сентябрь 2014 – май 2015)

План мероприятий по реализации проекта

Введение.

Слово процент от латинского слова pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти».

Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы. Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике.

Ныне процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу). Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), возник современный символ для обозначения процента. В школьном учебнике  «Математика, 5»,авторов  Н.Я. Виленкина и др. дана еще одна любопытная версия возникновения знака %.[1] Там, в частности, говорится, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 г. в Париже была опубликована книга-руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.

Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется. Вопросы инфляции, повышение цен, рост стоимости акций, снижение покупательской способности касаются каждого человека в нашем обществе. Планирование семейного бюджета, выгодного вложения денег в банки, невозможны без умения производить несложные процентные вычисления.

Сами проценты не дают экономического развития, но их знание помогает в развитии практических способностей, а также умение решать экономические задачи. Обдуманное изучение процентов может способствовать развитию таких навыков как экономичность, расчетливость.

В вариантах вступительных экзаменов встречаются задачи на проценты, и эти задачи часто вызывают затруднения у школьников. Причина в том, что тема "Проценты" изучается в младших 5-6  классах, причем непродолжительно, закрепляется в 7 классе при решении задач на повторение, а в старших классах к этой теме совсем не возвращаются.

Так, пересмотрев школьные учебники по математике, по которым обучаются ученики нашей гимназии, я выяснила, что в учебнике «Алгебра, 9», под ред. Теляковского, задач, в которых упоминается слово «процент», всего три.[2] В учебнике «Алгебра и начала анализа, 10-11» под ред Колмогорова А.Н  задач на проценты и процентную концентрацию черыре.[3] Но, задачи на проценты уже встречались в вариантах единого государственного экзамена в  2003, 2004, 2005 годах.[4] Предлагается такая задача и в демонстрационном варианте 2007 года. Поэтому, изучение  наиболее часто встречающихся типов задач на проценты, считаю актуальным.

Объектом  исследования является изучение различных типов задач по теме «Проценты».

Изучая эту тему по сборникам для поступающих в вузы[5], мы пришла к мнению, что многие задачи авторы сборников предлагают решать с использованием специальных формул, которых в школьных  учебниках 5-6 классов, когда и изучаются эти темы, нет.

Предмет исследования: решение задач  на проценты и процентное содержание, концентрацию, смеси и сплавы с преимущественным использованием основных правил действия с десятичными и обыкновенными  дробями.

Цель работы. Составить практические рекомендации по решению задач на проценты для школьников.

Задачи исследования:

1. Систематизировать задачи на проценты по типам.
2. Составить практические рекомендации по решению задач на проценты.
3. Выявить практическое применение таких задач.

Практическая значимость работы.  Данное практические задания по решению задач на проценты будет интересно не только школьникам 5-6 класса, которым интересна математика. Здесь найдут много полезного и выпускники школ, и абитуриенты при подготовке к выпускным и вступительным экзаменам.

1.Основные типы задач по теме «Проценты».

Обращаем  внимание, что существуют и другие способы решения простейших задач на проценты, например, составляют пропорции на каждом шаге, но в этом случае решение становится на несколько шагов длиннее.  Мы же  видим свою  задачу в нахождении более быстрых способов решения таких задач, в связи с тем, что  в настоящее время редкий тест   по математике для абитуриентов, обходится без задач, в которых     не упоминались бы проценты.

1.1. Решение задач на применение основных понятий о процентах.

Сотая часть метра - это сантиметр, сотая часть рубля – копейка, сотая часть центнера - килограмм. Люди давно замети, что сотые доли величин удобны в тактической деятельности. Потому для них было придумано специальное название – процент. Значит одна копейка – один процент от одного рубля, а один сантиметр – один процент от одного метра.

Один процент – это одна сотая доля числа. Математическими знаками один процент записывается так: 1%.

Определение одного процента можно записать равенством:                   1     %  =  0,01 * а 

5%=0,05,  23%=0,23, 130%=1,3  и т. д

Как найти 1% от числа? Раз 1% это одна сотая часть, надо число разделить на 100. Деление на 100 можно заменить умножением на 0,01. Поэтому, чтобы найти 1% от данного числа, нужно умножить его на 0,01. А если нужно найти 5% от числа, то умножаем данное число на 0,05 и т.д.

Пример. Найти: 25% от 120.

Решение:
1) 25% = 0,25;
2) 120 . 0,25 = 30.

Ответ: 30.

Правило 1. Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно проценты записать десятичной дробью, а затем число умножить на эту десятичную дробь

Пример. Токарь вытачивал за час 40 деталей. Применив резец из более прочной стали, он стал вытачивать на 10 деталей в час больше. На сколько процентов повысилась производительность труда токаря?

Решение: Чтобы решить эту задачу, надо узнать, сколько, процентов составляют 10 деталей от 40. Для этого найдем сначала, какую часть составляет число 10 от числа 40. Мы знаем, что нужно разделить 10 на 40. Получится 0,25. А теперь запишем в процентах – 25%. Получаем ответ: производительность труда токаря повысилась на 25%.

Правило 2. Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от  другого, нужно разделить первое число на второе и полученную дробь записать в виде процентов. 

Пример.  При плановом задании 60 автомобилей в день завод выпустил 66 автомобилей. На сколько процентов завод выполнил план?

Решение:                                - такую часть составляют изготовленные автомобили от количества автомобилей по плану.   Запишем в процентах   =110%

Ответ: 110%

Пример. 

На сколько процентов 10 больше 6?      2. На сколько процентов 6 меньше 10?
             Решение:
1. ((10 - 6).100%)/6 = 66 2/3 %
2. ((10 - 6).100%)/10 = 40%

Ответ: 66 2/3 %,  40 %.

Пример.  Бронза является сплавом олова и меди. Сколько процентов сплава составляет медь в куске бронзы, состоящем из 6 кг олова и 34 кг меди?

Решение:  1)       6+ 34 =40 (кг)      масса всего сплава.

2)       = 85%     сплава составляет медь.

Ответ. 85%.

Пример. Что произойдет с ценой товара, если сначала ее повысить на 25%, а потом понизить на 25%?

Решение:  Пусть цена товара х руб, тогда после повышения товар стоит 125% прежней цены, т.е.   1,25х;, а после понижения на 25% , его стоимость составляет 75% или 0, 75 от повышенной цены, т.е. 0,75 *1,25х= 0,9375х, тогда цена товара понизилась на 6, 25 %, т.к. х - 0,9375х = 0,0625х ;          0,0625х/х . 100% = 6,25%
Ответ: первоначальная цена товара снизилась на 6,25%.

Правило 3. Чтобы найти процентное отношение двух чисел А и В, надо  отношение этих чисел умножить на 100%, то есть вычислить (а/в)*100%. 

Пример.  Найти число, если 15% его равны 30.
Решение:
1) 15% = 0,15;
2) 30 : 0,15 = 200.
или:   х - данное число;    0,15.х = 300;     х = 200.
Ответ: 200.

Пример. Из хлопка-сырца  получается 24% волокна. Сколько надо взять хлопка-сырца, чтобы получить 480кг волокна.?

Решение.  Запишем 24% десятичной дробью 0,24 и получим задачу о нахождении числа по известной ему части (дроби).  480 : 0,24= 2000 кг = 2 т

Ответ: 2 т

Пример. Сколько кг белых грибов надо собрать для получения 1 кг сушеных, если при обработке свежих грибов остается 50% их массы, а при сушке остается 10% массы обработанных  грибов?

Решение. 1кг сушеных грибов – это 10% или 0, 01 часть обработанных, т.е. 1 кг : 0,1=10 кг обработанных грибов, что составляет 50% или 0,5 собранных грибов, т.е. 10 кг : 0,05=20 кг

Ответ: 20 кг

Пример. Свежие грибы содержали по массе 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?

Решение:
1) 22 . 0,1 = 2,2 (кг) - грибов по массе в свежих грибах; (0,1 это 10% сухого вещества)
2) 2,2 : 0,88 = 2,5 (кг) - сухих грибов, получаемых из свежих (количество сухого вещества не изменилось, но изменилось его процентное содержание в грибах и теперь 2,2 кг это 88% или 0,88 сухих грибов).
            Ответ: 2,5 кг.

Правило 4. Чтобы найти число по данным его процентам, надо выразить проценты в виде дроби, а затем значение процентов  разделить на эту дробь.

1.2. Решение задач на понятия "процентное содержание", "концентрация", "%-й раствор".

Процентное содержание. Процентный раствор.

Пример.  Сколько кг соли в 10 кг соленой воды, если процентное содержание соли 15%.

            Решение.        10 . 0,15 = 1,5 (кг) соли.
             Ответ: 1,5 кг.

Процентное содержание вещества в растворе (например, 15%), иногда называют %-м раствором, например, 15%-й раствор соли.

Пример. Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве?

Решение: Процентное содержание вещества в сплаве - это часть, которую составляет вес данного вещества от веса всего сплава.

1) 10 + 15 = 25 (кг) - сплав;
2) 10/25 . 100% = 40% - процентное содержание олова в сплаве;
3) 15/25 . 100% = 60% - процентное содержание цинка в сплаве;
Ответ: 40%, 60%.

Концентрация.

Если концентрация вещества в соединении по массе составляет р%, то это означает, что масса этого вещества составляет р% от массы всего соединения.

Пример. Концентрация серебра в сплаве 300 г составляет 87%. Это означает, что чистого серебра в сплаве 261 г.

Решение. 300 . 0,87 = 261 (г).

В этом примере концентрация вещества выражена в процентах.

Отношения объема чистой компоненты в растворе ко всему объему смеси называется объемной концентрацией этой компоненты.

Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, равна 1.

Если известно процентное содержание вещества, то его концентрация находится по формуле:      К=р/100%  к - концентрация вещества;   р - процентное содержание вещества (в процентах).

Пример.  Имеется 2 сплава, в одном из которых, содержится 40%, а в другом 20% серебра. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 32% серебра?

Решение:   Пусть к 20 кг первого сплава нужно добавить х кг второго сплава. Тогда получим (20 + х) кг нового сплава. В 20 кг первого сплава содержится 0,4 . 20 = 8 (кг) серебра, в х кг второго сплава содержится 0,2х кг серебра, а в (20+х) кг нового сплава содержится 0,32 . (20+х) кг серебра. Составим уравнение:

8 + 0,2х = 0,32 . (20 +х);          х = 13 1/3.

Ответ:    13 1/3 кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 32% серебра.

Пример.  К 15 л 10%-ного раствора соли добавили 5%-ный раствор соли и получили 8%-ный раствор. Какое количество литров 5%-ного раствора добавили?

            Решение. Пусть добавили х л 5%-ного раствора соли. Тогда нового раствора стало (15 + х) л, в котором содержаться 0,8 . (15 + х) л соли. В 15 л 10%-ного раствора содержится 15 . 0,1 = 1,5 (л) соли, в х л 5%-ного раствора содержится 0,05х (л) соли.

 Составим уравнение.

1,5 + 0,05х = 0,08 . (15 + х);
х = 10.

           Ответ: добавили 10 л 5%-ного раствора

1.3.    Решение задач с использованием понятия коэффициента увеличения..

Чтобы увеличить положительное число а на р процентов, следует умножить  число а на коэффициент увеличения  к=(1+0,01р).

Чтобы уменьшить положительное число а на р процентов, следует умножить число а на коэффициент уменьшения к= (1-0,01р).

Пример.  Вклад, вложенный в сбербанк два года назад, достиг суммы, равной 13125 руб. Каков был первоначальный вклад при 25% годовых?

            Решение. Если а (рублей) – размер первоначального вклада, то в конце первого года вклад составит 1,25а а в конце второго года размер вклада составит 1,25 *1,25а. Решая уравнение 1,25* 1,25а=13125, находим а=8400.

            Ответ: 8400 руб.

Пример. В феврале цена на нефть увеличилась на 12% по сравнению с январской. В марте цена нефти упала на 25%. На сколько процентов мартовская цена изменилась  по сравнению с январской?

Решение. Если х – январская цена нефти, то февральская цена нефти равна

 (1 +0,01*12)х = 1,12х. Чтобы вычислить мартовскую цену у на нефть, следует умножить февральскую цену 1,12х на (1-0,01*25)=0,75, т.е. у=0,75 1,12х=0,84х , мартовская цена отличается от январской на (0,84х)/х100 –100=84-100= -16(%), т.е. цена упала на 16 %

            Ответ: цена упала на 16%.

Правило 5. Чтобы найти, на сколько % положительное число у отличается от положительного числа а , следует  вычислить, сколько % у составляет от а, а затем от полученного числа отнять а.

2. Разные задачи на проценты  ( с решениями).

Рассматривается  выборка задач из различных источников, которые охватывают весь теоретический материал, который излагался выше, предлагаем свои решения. Отметим, что предложенный способ решения не является единственным.

2.1 Тестовые задания на проценты.

Задача 1.Товар стоил тысячу рублей. Продавец поднял цену на 10%, а через месяц снизил её на 10%.Сколько стал стоить товар?

Решение.  Пусть товар стоил 1000руб., после повышения цены на 10% он стал стоить 1,1*1000 руб. После понижения этой цены на 10%, он стал стоить 0,9*1,1*1000=990 руб.

Ответ. 990 руб.

Задача 2.Собрали 100 кг грибов. Оказалось, что их влажность 99%. Когда грибы подсушили, влажность снизилась до 98%. Какой стала масса этих грибов после подсушивания?

     Решение.  Так как влажность грибов составляет 99%,  это означает, что на так называемое «сухое вещество приходится 1% грибов, т.е 1 кг, после сушки влажность составляет 98%, т.е. на «сухое вещество» приходится 2%, т.е 1кг это 0,02 подсушенных  грибов,  1 кг : 0,02=50 кг.

Ответ. 50 кг.

Задача 3. Цена входного билета на стадион была 1 рубль 80 копеек. После снижения входной платы число зрителей увеличилось на 50% , а выручка выросла на 25% .Сколько стал стоить  билет после снижения?

       Решение. Пусть зрителей, до понижения цены, на стадион приходило А чел. и выручка составляла 1,8А руб. После понижения цены, цена 1,8*р, зрителей стало 1,5А, выручка составляет 1,8*р*1,5*А руб. С другой стороны, выручка повысилась на 25%, т.е. составляет 1,25*1,8А. Получаем 1,8*р*1,5*А=1,25*1,8А., откуда р=12,5/15, тогда билет стоит 1,8*12,5/15=1,5 руб.

Ответ.  1руб. 50 коп

Задача 4. По дороге идут два туриста. Первый из них делает  шаги  на 10% короче и в то же время на 10% чаще, чем второй. Кто из туристов идет быстрее и почему?

       Решение.  Пусть второй турист делает а шагов, каждый из которых равен в, тогда ав это длина пройденного пути. А первый турист тогда прошел1,1*а*0,9*в=0,99*ав, что меньше ав.

Ответ. Второй турист идет быстрее.

Задача 5.Цену за товар уменьшили на 10%, а затем еще на 10%. Стоит ли он дешевле, если цену сразу снизить на 20%?

     Решение. Если товар стоил А руб, после двух понижений он стал стоить 0,9*0,9*А=0,81А. А цену товара сразу понизить на 20%, то он станет стоить 0,8*А , что дешевле.

Ответ. Да.

       Задача 6. Числитель дроби увеличили на 20%. На сколько процентов надо          уменьшить её знаменатель, чтобы в итоге дробь возросла вдвое?

       Решение.  Пусть   данная дробь,   новая дробь.  , откуда К=0,6, что означает, что знаменатель нужно уменьшить на 40%

Ответ. 40%

       Задача 7. Матроскин продает молоко через магазин и хочет получать за   него 25 рублей за литр. Магазин удерживает 20% стоимости проданного товара. По какой цене будет продаваться молоко в магазине?

       Решение.  Пусть молоко продает магазин по А руб, тогда после удержания 20% стоимости товара, Матроскину остается 0,8*А=25, откуда А=31, 25 руб.

Ответ. 31 руб. 25 коп.

     Задача 8. Один покупатель купил 25% имевшегося куска полотна, второй покупатель 30%  остатка, а третий - 40%  нового остатка. Сколько (в процентах) полотна осталось непроданным?

       Решение. Пусть полотна было р .  Первый купил 0,25р,, осталось (1-0,25)р полотна, второй покупатель купил 0,3*0,75р=0,225р, осталось 0,75р –0,225р=0,525р, третий купил 0,4*0,525р=0,21р, осталось 0,525р-0,21р=0,315р, что составляет 31,5% от р.

Ответ.  31,5%

  Задача 9.Бригада косарей в первый день скосила половину луга и еще 2 га,  а во второй день 25% оставшейся части и последние 6 га. Найти площадь луга.

     Решение.  6 га составляют 75% или0,75=3/4 от оставшейся части после 1 дня работы, т.е.6: 0,75=6 га 8+2=10 га  - это половина луга, весь луг 20 га

Ответ. 20 га

       Задача 10.Как изменится в процентах площадь  прямоугольника,  если его длина увеличится на 30%, а ширина уменьшится на 30%?

       Решение.  АВ- площадь исходного прямоугольника, 1,3*А*0,7*В=0,91АВ – площадь нового прямоугольника, что составляет 91% исходного.

Ответ. Уменьшится  на 9%

Задача 11. В драматическом кружке число мальчиков составляет   80%  от числа девочек. Сколько процентов составляет число девочек в этом кружке от числа мальчиков?

Решение. Девочек А чел, мальчиков 0,8*А, девочки составляют от мальчиков А/(0,8А)= 1,25, т.е. 125 % от числа мальчиков

Ответ. 125%

            Задача 12. В бассейн проведена труба. Вследствие засорения её приток воды уменьшился на 60%. На сколько  процентов  вследствие этого увеличится время, необходимое для заполнения бассейна

 Решение. Пусть Х – объем воды, который должен поступить за время Т при притоке А в ед времени., т.е. Х=АТ. Так как приток уменьшился на 60%, т.е. стал составлять 0,4А, тогда время стало ТК. Получим АТ=0,4А*КТ, откуда К = 2,5, что составляет 250% от времени, необходимого на заполнение бассейна до засорения, т.е. время увеличилось на 150%

Ответ.  150%

Задача 13.5 литров сливок с содержанием жира 35% смешали с 4 литрами 20%-ных сливок и к смеси добавили 1 литр чистой  воды. Какой  жирности получилась смесь?

     Решение.  0,35*5+0,2*4=р*(5+4+1), откуда р=0,255, что составляет 25,5%

Ответ. 25,5%

2.2. Избранные задачи вариантов единого государственного экзамена.

Впервые в вариантах единого государственного экзамена по математике задача на проценты появились в 2003 году в заданиях группы В,  в 2004 и в 2005 годах такие задачи также были представлены в вариантах единого экзамена.  В вариантах 2006 года были задачи на работу, но в демонстрационном варианте 2007 года снова появляется задача на проценты, что говорит о необходимости серьезной работы над этой темой. Следует отметить, что для решения всех задач, которые предлагались, достаточно  знания тех методов, которые рассматриваются  в данной работе.

Заключение.  Данное практическое пособие позволит развить и закрепить навыки решения задач по теме: «Проценты» у учащихся 5-6 классов, может быть интересно учащимся, увлеченным математикой, а также полезно выпускникам школ и абитуриентам при подготовке к экзаменам. В дальнейшем на факультативных и кружковых занятиях возможны изучение вопроса применения процентов в экономике, в банковском деле.  Можно провести сравнительный анализ банковских  процентных ставок по потребительским кредитам и ипотечному кредитованию населения.

Литература.

1. .Быков А.А. и др В помощь поступающим в ГУ – ВШЭ, Математика, М: ГУ-ВШЭ, 2004

2.Денищева Л.О., Глазков Ю.А. и др., Учебно-тренировочные материалы для    подготовки к ЕГЭ. Математика, М: Интеллект- Центр, 2003.

 3. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Конкурсные задачи по математикеМ:   Наука, 1992.

4. Семенко Е.А. и др., Готовимся к ЕГЭ по математике, Краснодар, Просвещение-Юг, 2005.

5. Алгебра, 9, под ред. Теляковского С.А., М: Просвещение,  2001

6. Алгебра и начала анализа, 10-11, под ред. Колмогорова А.Н., М: Просвещение, 2003.

7. Математика. Контрольные измерительные материалы единого государственного экзамена в 2004 г. М: Центр тестирования, 2004.

8. Экзаменационные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. ЕГЭ 2006, М: Центр тестирования, 2005.

[1] «Математика, 5», Виленкин Н.Я. и др., «Мнемозина», 2003, с. 337

[2] «Алгебра, 9», под ред. Теляковского С.А., М: Просвещение,  2001, с.215, 223

[3] «Алгебра и начала анализа, 10-11», под ред. Колмогорова А.Н., М: Просвещение, 2003, с.306,330.

[4] «Учебно-тренировочные материалы для подготовки к ЕГЭ. Математика», Денищева Л.О., Гдазков Ю.А. и др., М: Интеллект- Центр, 2003.

«Математика. Контрольные измерительные материалы единого государственного экзамена в 2004 г.» М: Центр тестирования, 2004.

«Экзаменационные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. ЕГЭ 2006», М: Центр тестирования, 2005.

[5] «Конкурсные задачи по математике», Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., М: Наука, 1992, с330-332.

«В помощь поступающим в ГУ – ВШЭ, Математика», Быков А.А. и дрМ: ГУ-ВШЭ, 2004, с 53-64

«Готовимся к ЕГЭ по математике», Семенко Е.А. и др., Краснодар, Просвещение-Юг, 2005, с. 46-51

Ресурсы

Ожидаемые результаты реализации проекта:

1._______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2._______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3._______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4._____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5._______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Методы диагностики __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Литература

1. …
2. …
3. …..
4. Входной тест
5. 1.  Запишите 29% в виде обыкновенной дроби.
6.              А. 29/100                 Б.. 29/10                В.   29        
7. 2.  Запишите 27% в виде десятичной дроби.
8.            А. 0,27.                Б. 0,73.                 В. 0,027.
9. 3.  Найдите 25% от 48.
10.            А. 12.                   Б. 1,2.                   В. 120.
11. 4.  В школьном саду 40 фруктовых деревьев. 30% этих деревьев яблони. Сколько яблонь в саду?
12.             А. 120.                 Б. 12.                    В. 28.
13.  5.  В кассе кинотеатра было 500 билетов. 70% всех билетов продали. Сколько билетов осталось не продано?
14.             А. 35.                   Б. 350.                  В. 150.
15. 6.  В первый день на ярмарке продали 30% привезенных для продажи саженцев, а во второй день еще 45% . Сколько процентов саженцев осталось продать?
16.             А. 40%.               Б. 25%.                В. 15%.
17. 7.  Сберегательный банк начисляет на срочный вклад 20% годовых. Вкладчик положил на счет 800 р. Сколько денег будет на этом счете через год?
18.              А. 960 р.              Б. 820 р.               В. 160 р.
19. 8. Школьники посадили 50 деревьев: дубы, акации и липы. Дубы составили 35% всех деревьев, акации 25%. Сколько лип посадили школьники?
20.              А. 2.                     Б. 20.                    В. 200.
21. Проверь себя
22. 1.  а
23. 2.  а
24. 3. а
25. 4. б
26. 5. в
27. 6. б
28. 7. а
29. 8. б
31.  ПРОГРАММА
32. ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА
33. ПО МАТЕМАТИКЕ
34. 9 КЛАСС
35. Тема:
36. «Процентные вычисления
37. в жизненных ситуациях»
38. Преподаватель математики
39. Краснокустовского филиала
40. МОУ Мучкапской сош
41. Наталья Николаевна Зорина

42. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
43. В настоящее время оперирования процентами при всевозможных банковских операциях, а так же в повседневной жизни человека является неизбежным.
44. К задачам на проценты, в частности к трём главным: нахождению нескольких процентов от числа, нахождению числа по данной величине его процентов, нахождению процентного отношения чисел - сегодня должно быть новое отношение. Навыки работы с задачами на проценты потребуются человеку на протяжении всей его трудовой жизни.
45. Предлагаемая программа поможет объединить разрозненные знания учащихся в целостную систему. На изучение темы «Проценты» в курсе математики отводится очень небольшое количество часов, а повторное обращение к данной теме не предусмотрено. Но текстовые задачи на проценты включены в материалы итоговой аттестации за курс основной школы, в КИМы и ЕГЭ, в конкурсные экзамены. Однако практика показывает, что задачи на проценты вызывают затруднения у учащихся и очень многие окончившие школу не имеют прочных навыков обращения с процентами в повседневной жизни. Понимание процентов и умение произ-водить процентные расчеты в настоящее время необходимы каждому человеку: прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, демографическую, экологическую, социологическую и другие стороны нашей жизни.
46. Разработанная программа предназначена для учащихся 9-х классов и направлена на формирование практических навыков учащихся и применение полученных знаний в повседневной жизни.
47. В нашей школе реализуется физкультурно-оздоровительная программа «Школа здоровья», именно поэтому некоторые разделы программы построены на материале по вопросам физической культуры, спорта и здоровья школьников.
48. Программа рассчитана на 34 часа классных занятий.
49. ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ:
50. формирование практических навыков при расширении задач на проценты;
51. формирование умения применять процентные расчеты в реальной жизни;
52. способствовать интеллектуальному развитию учащихся, фор-мированию качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для жизни в современном обществе, для общей социальной ориентации и решения практических проблем.

54. В тематике задач, включенных в курс, увеличивается доля задач, относящихся к реальным жизненным ситуациям. Ситуации из школьной жизни и из жизни семьи содержат важную в воспитательном отношении информацию о социальной сфере страны, развивают у учащихся умение видеть приложение математических знаний к окружающей действительности. Большое внимание уделяется использованию компьютерной графики для решения задач и оформления результатов математической статистики.
55. ЗАДАЧИ КУРСА:
56. показать практическую значимость решения задач на проценты и возможность наглядного представления статистической информации;
57. научить школьников работать, в том числе самостоятельно собирая и обрабатывая большие объёмы информации;
58. помочь освоить графические способы использования компьютерных средств для защиты проектов.
60. СОДЕРЖАНИЯ ПРОГРАММЫ элективного курса представляет собой практикум, по итогам освоения которого выполняются ученические проекты. В практическое содержание программы включены задания различного уровня сложности с учётом уровня подготовки учащихся. Основная направленность программы состоит в формировании практических навыков учащихся и применении полученных знаний в повседневной жизни.
61. МЕТОДЫ ВЕДЕНИЯ ЗАНЯТИЙ: часть занятий отводится работе на компьютере (построение таблиц, схем, графиков, диаграмм); для передачи теоретического материала наиболее эффективна школьная лекция, сопровождающаяся беседой с учащимися; кроме того, при работе над определёнными темами проводятся обсуждения, дискуссии, тестирование. Программа курса так же предполагает помощь в подготовке к олимпиадам. Главным содержанием работы является выполнение компьютерных графических работ.
62. ОТЧЕТНОСТЬ по итогам курса проводится в виде групповых или индивидуальных заданий по защите ученических проектов, выполнении самостоятельных и графических работ.
63. РЕЗУЛЬТАТ ОБУЧЕНИЯ:
64. понимать содержательный смысл термина «процент» как специального способа выражения доли величины;
65. знать широту применения процентных вычислений в жизни, решать основные задачи на проценты, применять формулу сложных процентов;
66. производить прикидку и оценку результатов вычислений;
67. при вычислениях сочетать устные и письменные приемы, применять калькулятор, использовать приемы, рационализирующие вычисления;
68. уметь составлять презентации по проектной деятельности.

 Зачётная работа по теме «Решение задач на проценты»

Задачи из «Открытого банка заданий по математике»

подобраны и решены учителем математики

ГБОУ СОШ № 1358 г. Москвы

Епифановой Татьяной Николаевной

Пояснительная записка

Задания данной зачётной работы соответствуют теории по теме «Решение задач на проценты» в пределах учебного материала для учащихся 5-6 классов. Они предназначены для проверки уровня знаний, умений и навыков учащихся по данной теме и могут по-мочь выпускникам при подготовке к ГИА и ЕГЭ. При решении за-дач этого теста необходимо уметь решать основные типы задач на проценты.

В работе представлены два варианта, в каждом из которых десять задач, и ответы к ним. 2

Зачётная работа по теме «Решение задач на проценты»

Вариант 1.

1. Футболка стоила 800 рублей. После снижения цены она стала стоить 680 рублей. На сколько процентов была снижена цена на футболку?

2. В сентябре 1 кг винограда стоил 60 рублей, в октябре виноград подорожал на 25%, а в ноябре еще на 20%. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в ноябре?

3. Клиент взял в банке кредит 12 000 рублей на год под 12%. Он должен по- гашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем что- бы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?

4. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная плата Ивана Кузьмича равна 125000 рублей. Сколько рублей он получит после вы- чета налога на доходы?

5. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на доходы Мария Константиновна получила 9570 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марии Константиновны?

6. Розничная цена учебника 180 рублей, она на 20% выше оптовой цены. Ка- кое наибольшее число таких учебников можно купить по оптовой цене на 10000 рублей?

7. Железнодорожный билет для взрослого стоит 720 рублей. Стоимость би- лета для школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 15 школьников и 2 взрослых. Сколько рублей стоят биле- ты на всю группу?

8. Цена на электрический чайник была повышена на 16% и составила 3480 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

9. Восемь рубашек дешевле куртки на 2%. На сколько процентов двенадцать рубашек дороже куртки?

10. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на прода- жу за 20000 рублей, через два года был продан за 17672 рубля. 3

Зачётная работа по теме «Решение задач на проценты»

Вариант 2.

1. Футболка стоила 1200 рублей. После снижения цены она стала стоить 972 рубля. На сколько процентов была снижена цена на футболку?

2. Среди 40 000 жителей города 60% не интересуется футболом. Среди фут-больных болельщиков 80% смотрело по телевизору финал Лиги чемпионов. Сколько жителей города смотрело этот матч?

3. Клиент взял в банке кредит 3000 рублей на год под 12 %. Он должен по-гашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем что-бы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?

4. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная плата Ивана Кузьмича равна 10000 рублей. Сколько рублей он получит после вы-чета налога на доходы?

5. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на доходы Мария Константиновна получила 11745 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марии Константиновны?

6. Флакон шампуня стоит 160 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 25%?

7. Железнодорожный билет для взрослого стоит 530 рублей. Стоимость би-лета для школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 14 школьников и 3 взрослых. Сколько рублей стоят биле-ты на всю группу?

8. Цена на электрический чайник была повышена на 21% и составила 3025 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

9. Десять рубашек дешевле куртки на 10%. На сколько процентов двенадцать рубашек дороже куртки?

10. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на прода-жу за 19800 рублей, через два года был продан за 16038 рублей. 4

Ответы к зачётной работе по теме

Решение задач на проценты Популярное

Введение.

Слово процент от латинского слова pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти».

Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы. Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике.

Ныне процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу). Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), возник современный символ для обозначения процента. В школьном учебнике  «Математика, 5»,авторов  Н.Я. Виленкина и др. дана еще одна любопытная версия возникновения знака %.[1] Там, в частности, говорится, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 г. в Париже была опубликована книга-руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.

Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется. Вопросы инфляции, повышение цен, рост стоимости акций, снижение покупательской способности касаются каждого человека в нашем обществе. Планирование семейного бюджета, выгодного вложения денег в банки, невозможны без умения производить несложные процентные вычисления.

Сами проценты не дают экономического развития, но их знание помогает в развитии практических способностей, а также умение решать экономические задачи. Обдуманное изучение процентов может способствовать развитию таких навыков как экономичность, расчетливость.

В вариантах вступительных экзаменов встречаются задачи на проценты, и эти задачи часто вызывают затруднения у школьников. Причина в том, что тема "Проценты" изучается в младших 5-6  классах, причем непродолжительно, закрепляется в 7 классе при решении задач на повторение, а в старших классах к этой теме совсем не возвращаются.

Так, пересмотрев школьные учебники по математике, по которым обучаются ученики нашей гимназии, я выяснила, что в учебнике «Алгебра, 9», под ред. Теляковского, задач, в которых упоминается слово «процент», всего три.[2] В учебнике «Алгебра и начала анализа, 10-11» под ред Колмогорова А.Н  задач на проценты и процентную концентрацию черыре.[3] Но, задачи на проценты уже встречались в вариантах единого государственного экзамена в  2003, 2004, 2005 годах.[4] Предлагается такая задача и в демонстрационном варианте 2007 года. Поэтому, изучение  наиболее часто встречающихся типов задач на проценты, считаю актуальным.

Объектом  исследования является изучение различных типов задач по теме «Проценты».

Изучая эту тему по сборникам для поступающих в вузы[5], я пришла к мнению, что многие задачи авторы сборников предлагают решать с использованием специальных формул, которых в школьных  учебниках 5-6 классов, когда и изучаются эти темы, нет.

Предмет исследования: решение задач  на проценты и процентное содержание, концентрацию, смеси и сплавы с преимущественным использованием основных правил действия с десятичными и обыкновенными  дробями.

Цель работы. Составить практическое пособие по решению задач на проценты для школьников.

Задачи исследования:1) Изучить исторический и теоретический материал по интересующему вопросу. 2) Систематизировать задачи на проценты по типам. 3) Составить практические рекомендации по решению задач на проценты. 4) Выявить практическое применение таких задач.5). Определить план дальнейшей работы над темой.

Практическая значимость работы.  Данное пособие по решению задач на проценты будет интересно не только школьникам 5-6 класса, которым интересна математика. Здесь найдут много полезного и выпускники школ, и абитуриенты при подготовке к выпускным и вступительным экзаменам.

Глава 1.Основные типы задач по теме «Проценты».

В данной главе приводятся  примеры задач, которые решаются с применением определения, что такое один процент, как выразить  дробь в процентах и правилам нахождения части (дроби) от числа, и числа по значению его части (дроби), т.е. это те темы и задачи, которые рассматриваются в школе. 

Обращаем  внимание, что существуют и другие способы решения простейших задач на проценты, например, составляют пропорции на каждом шаге, но в этом случае решение становится на несколько шагов длиннее.  Мы же  видим свою  задачу в нахождении более быстрых способов решения таких задач, в связи с тем, что  в настоящее время редкий тест   по математике для абитуриентов, обходится без задач, в которых     не упоминались бы проценты.

1.1. Решение задач на применение основных понятий о процентах.

Сотая часть метра - это сантиметр, сотая часть рубля – копейка, сотая часть центнера - килограмм. Люди давно замети, что сотые доли величин удобны в тактической деятельности. Потому для них было придумано специальное название – процент. Значит одна копейка – один процент от одного рубля, а один сантиметр – один процент от одного метра.

Один процент – это одна сотая доля числа. Математическими знаками один процент записывается так: 1%.

Определение одного процента можно записать равенством:                   1     %  =  0,01 * а 

5%=0,05,  23%=0,23, 130%=1,3  и т. д

Как найти 1% от числа? Раз 1% это одна сотая часть, надо число разделить на 100. Деление на 100 можно заменить умножением на 0,01. Поэтому, чтобы найти 1% от данного числа, нужно умножить его на 0,01. А если нужно найти 5% от числа, то умножаем данное число на 0,05 и т.д.

Пример. Найти: 25% от 120.

Решение:
1) 25% = 0,25;
2) 120 . 0,25 = 30.

Ответ: 30.

Правило 1. Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно проценты записать десятичной дробью, а затем число умножить на эту десятичную дробь

Пример. Токарь вытачивал за час 40 деталей. Применив резец из более прочной стали, он стал вытачивать на 10 деталей в час больше. На сколько процентов повысилась производительность труда токаря?

Решение: Чтобы решить эту задачу, надо узнать, сколько, процентов составляют 10 деталей от 40. Для этого найдем сначала, какую часть составляет число 10 от числа 40. Мы знаем, что нужно разделить 10 на 40. Получится 0,25. А теперь запишем в процентах – 25%. Получаем ответ: производительность труда токаря повысилась на 25%.

Правило 2. Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от  другого, нужно разделить первое число на второе и полученную дробь записать в виде процентов. 

Пример.  При плановом задании 60 автомобилей в день завод выпустил 66 автомобилей. На сколько процентов завод выполнил план?

Решение:                                - такую часть составляют изготовленные автомобили от количества автомобилей по плану.   Запишем в процентах   =110%

Ответ: 110%

Пример. 

На сколько процентов 10 больше 6?      2. На сколько процентов 6 меньше 10?
             Решение:
1. ((10 - 6).100%)/6 = 66 2/3 %
2. ((10 - 6).100%)/10 = 40%

Ответ: 66 2/3 %,  40 %.

Пример.  Бронза является сплавом олова и меди. Сколько процентов сплава составляет медь в куске бронзы, состоящем из 6 кг олова и 34 кг меди?

Решение:  1)       6+ 34 =40 (кг)      масса всего сплава.

2)       = 85%     сплава составляет медь.

Ответ. 85%.

Пример. Что произойдет с ценой товара, если сначала ее повысить на 25%, а потом понизить на 25%?

Решение:  Пусть цена товара х руб, тогда после повышения товар стоит 125% прежней цены, т.е.   1,25х;, а после понижения на 25% , его стоимость составляет 75% или 0, 75 от повышенной цены, т.е. 0,75 *1,25х= 0,9375х, тогда цена товара понизилась на 6, 25 %, т.к. х - 0,9375х = 0,0625х ;          0,0625х/х . 100% = 6,25%
Ответ: первоначальная цена товара снизилась на 6,25%.

Правило 3. Чтобы найти процентное отношение двух чисел А и В, надо  отношение этих чисел умножить на 100%, то есть вычислить (а/в)*100%. 

Пример.  Найти число, если 15% его равны 30.
Решение:
1) 15% = 0,15;
2) 30 : 0,15 = 200.
или:   х - данное число;    0,15.х = 300;     х = 200.
Ответ: 200.

Пример. Из хлопка-сырца  получается 24% волокна. Сколько надо взять хлопка-сырца, чтобы получить 480кг волокна.?

Решение.  Запишем 24% десятичной дробью 0,24 и получим задачу о нахождении числа по известной ему части (дроби).  480 : 0,24= 2000 кг = 2 т

Ответ: 2 т

Пример. Сколько кг белых грибов надо собрать для получения 1 кг сушеных, если при обработке свежих грибов остается 50% их массы, а при сушке остается 10% массы обработанных  грибов?

Решение. 1кг сушеных грибов – это 10% или 0, 01 часть обработанных, т.е. 1 кг : 0,1=10 кг обработанных грибов, что составляет 50% или 0,5 собранных грибов, т.е. 10 кг : 0,05=20 кг

Ответ: 20 кг

Пример. Свежие грибы содержали по массе 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?

Решение:
1) 22 . 0,1 = 2,2 (кг) - грибов по массе в свежих грибах; (0,1 это 10% сухого вещества)
2) 2,2 : 0,88 = 2,5 (кг) - сухих грибов, получаемых из свежих (количество сухого вещества не изменилось, но изменилось его процентное содержание в грибах и теперь 2,2 кг это 88% или 0,88 сухих грибов).
            Ответ: 2,5 кг.

Правило 4. Чтобы найти число по данным его процентам, надо выразить проценты в виде дроби, а затем значение процентов  разделить на эту дробь.

1.2. Решение задач на понятия "процентное содержание", "концентрация", "%-й раствор".

Процентное содержание. Процентный раствор.

Пример.  Сколько кг соли в 10 кг соленой воды, если процентное содержание соли 15%.

            Решение.        10 . 0,15 = 1,5 (кг) соли.
             Ответ: 1,5 кг.

Процентное содержание вещества в растворе (например, 15%), иногда называют %-м раствором, например, 15%-й раствор соли.

Пример. Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве?

Решение: Процентное содержание вещества в сплаве - это часть, которую составляет вес данного вещества от веса всего сплава.

1) 10 + 15 = 25 (кг) - сплав;
2) 10/25 . 100% = 40% - процентное содержание олова в сплаве;
3) 15/25 . 100% = 60% - процентное содержание цинка в сплаве;
Ответ: 40%, 60%.

Концентрация.

Если концентрация вещества в соединении по массе составляет р%, то это означает, что масса этого вещества составляет р% от массы всего соединения.

Пример. Концентрация серебра в сплаве 300 г составляет 87%. Это означает, что чистого серебра в сплаве 261 г.

Решение. 300 . 0,87 = 261 (г).

В этом примере концентрация вещества выражена в процентах.

Отношения объема чистой компоненты в растворе ко всему объему смеси называется объемной концентрацией этой компоненты.

Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, равна 1.

Если известно процентное содержание вещества, то его концентрация находится по формуле:      К=р/100%  к - концентрация вещества;   р - процентное содержание вещества (в процентах).

Пример.  Имеется 2 сплава, в одном из которых, содержится 40%, а в другом 20% серебра. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 32% серебра?

Решение:   Пусть к 20 кг первого сплава нужно добавить х кг второго сплава. Тогда получим (20 + х) кг нового сплава. В 20 кг первого сплава содержится 0,4 . 20 = 8 (кг) серебра, в х кг второго сплава содержится 0,2х кг серебра, а в (20+х) кг нового сплава содержится 0,32 . (20+х) кг серебра. Составим уравнение:

8 + 0,2х = 0,32 . (20 +х);          х = 13 1/3.

Ответ:    13 1/3 кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 32% серебра.

Пример.  К 15 л 10%-ного раствора соли добавили 5%-ный раствор соли и получили 8%-ный раствор. Какое количество литров 5%-ного раствора добавили?

            Решение. Пусть добавили х л 5%-ного раствора соли. Тогда нового раствора стало (15 + х) л, в котором содержаться 0,8 . (15 + х) л соли. В 15 л 10%-ного раствора содержится 15 . 0,1 = 1,5 (л) соли, в х л 5%-ного раствора содержится 0,05х (л) соли.

 Составим уравнение.

1,5 + 0,05х = 0,08 . (15 + х);
х = 10.

           Ответ: добавили 10 л 5%-ного раствора

1.3.    Решение задач с использованием понятия коэффициента увеличения..

Чтобы увеличить положительное число а на р процентов, следует умножить  число а на коэффициент увеличения  к=(1+0,01р).

Чтобы уменьшить положительное число а на р процентов, следует умножить число а на коэффициент уменьшения к= (1-0,01р).

Пример.  Вклад, вложенный в сбербанк два года назад, достиг суммы, равной 13125 руб. Каков был первоначальный вклад при 25% годовых?

            Решение. Если а (рублей) – размер первоначального вклада, то в конце первого года вклад составит 1,25а а в конце второго года размер вклада составит 1,25 *1,25а. Решая уравнение 1,25* 1,25а=13125, находим а=8400.

            Ответ: 8400 руб.

Пример. В феврале цена на нефть увеличилась на 12% по сравнению с январской. В марте цена нефти упала на 25%. На сколько процентов мартовская цена изменилась  по сравнению с январской?

Решение. Если х – январская цена нефти, то февральская цена нефти равна

 (1 +0,01*12)х = 1,12х. Чтобы вычислить мартовскую цену у на нефть, следует умножить февральскую цену 1,12х на (1-0,01*25)=0,75, т.е. у=0,75 1,12х=0,84х , мартовская цена отличается от январской на (0,84х)/х100 –100=84-100= -16(%), т.е. цена упала на 16 %

            Ответ: цена упала на 16%.

Правило 5. Чтобы найти, на сколько % положительное число у отличается от положительного числа а , следует  вычислить, сколько % у составляет от а, а затем от полученного числа отнять а.

Глава 2. Разные задачи на проценты ( с решениями).

В данной главе рассматривается  выборка задач из различных источников, которые охватывают весь теоретический материал, который излагался выше, предлагаем свои решения. Отметим, что предложенный способ решения не является единственным.

2.1 Тестовые задания на проценты.

Задача 1.Товар стоил тысячу рублей. Продавец поднял цену на 10%, а через месяц снизил её на 10%.Сколько стал стоить товар?

Решение.  Пусть товар стоил 1000руб., после повышения цены на 10% он стал стоить 1,1*1000 руб. После понижения этой цены на 10%, он стал стоить 0,9*1,1*1000=990 руб.

Ответ. 990 руб.

Задача 2.Собрали 100 кг грибов. Оказалось, что их влажность 99%. Когда грибы подсушили, влажность снизилась до 98%. Какой стала масса этих грибов после подсушивания?

     Решение.  Так как влажность грибов составляет 99%,  это означает, что на так называемое «сухое вещество приходится 1% грибов, т.е 1 кг, после сушки влажность составляет 98%, т.е. на «сухое вещество» приходится 2%, т.е 1кг это 0,02 подсушенных  грибов,  1 кг : 0,02=50 кг.

Ответ. 50 кг.

Задача 3. Цена входного билета на стадион была 1 рубль 80 копеек. После снижения входной платы число зрителей увеличилось на 50% , а выручка выросла на 25% .Сколько стал стоить  билет после снижения?

       Решение. Пусть зрителей, до понижения цены, на стадион приходило А чел. и выручка составляла 1,8А руб. После понижения цены, цена 1,8*р, зрителей стало 1,5А, выручка составляет 1,8*р*1,5*А руб. С другой стороны, выручка повысилась на 25%, т.е. составляет 1,25*1,8А. Получаем 1,8*р*1,5*А=1,25*1,8А., откуда р=12,5/15, тогда билет стоит 1,8*12,5/15=1,5 руб.

Ответ.  1руб. 50 коп

Задача 4. По дороге идут два туриста. Первый из них делает  шаги  на 10% короче и в то же время на 10% чаще, чем второй. Кто из туристов идет быстрее и почему?

       Решение.  Пусть второй турист делает а шагов, каждый из которых равен в, тогда ав это длина пройденного пути. А первый турист тогда прошел1,1*а*0,9*в=0,99*ав, что меньше ав.

Ответ. Второй турист идет быстрее.

Задача 5.Цену за товар уменьшили на 10%, а затем еще на 10%. Стоит ли он дешевле, если цену сразу снизить на 20%?

     Решение. Если товар стоил А руб, после двух понижений он стал стоить 0,9*0,9*А=0,81А. А цену товара сразу понизить на 20%, то он станет стоить 0,8*А , что дешевле.

Ответ. Да.

       Задача 6. Числитель дроби увеличили на 20%. На сколько процентов надо          уменьшить её знаменатель, чтобы в итоге дробь возросла вдвое?

       Решение.  Пусть   данная дробь,   новая дробь.  , откуда К=0,6, что означает, что знаменатель нужно уменьшить на 40%

Ответ. 40%

       Задача 7. Матроскин продает молоко через магазин и хочет получать за   него 25 рублей за литр. Магазин удерживает 20% стоимости проданного товара. По какой цене будет продаваться молоко в магазине?

       Решение.  Пусть молоко продает магазин по А руб, тогда после удержания 20% стоимости товара, Матроскину остается 0,8*А=25, откуда А=31, 25 руб.

Ответ. 31 руб. 25 коп.

     Задача 8. Один покупатель купил 25% имевшегося куска полотна, второй покупатель 30%  остатка, а третий - 40%  нового остатка. Сколько (в процентах) полотна осталось непроданным?

       Решение. Пусть полотна было р .  Первый купил 0,25р,, осталось (1-0,25)р полотна, второй покупатель купил 0,3*0,75р=0,225р, осталось 0,75р –0,225р=0,525р, третий купил 0,4*0,525р=0,21р, осталось 0,525р-0,21р=0,315р, что составляет 31,5% от р.

Ответ.  31,5%

  Задача 9.Бригада косарей в первый день скосила половину луга и еще 2 га,  а во второй день 25% оставшейся части и последние 6 га. Найти площадь луга.

     Решение.  6 га составляют 75% или0,75=3/4 от оставшейся части после 1 дня работы, т.е.6: 0,75=6 га 8+2=10 га  - это половина луга, весь луг 20 га

Ответ. 20 га

       Задача 10.Как изменится в процентах площадь  прямоугольника,  если его длина увеличится на 30%, а ширина уменьшится на 30%?

       Решение.  АВ- площадь исходного прямоугольника, 1,3*А*0,7*В=0,91АВ – площадь нового прямоугольника, что составляет 91% исходного.

Ответ. Уменьшится  на 9%

Задача 11. В драматическом кружке число мальчиков составляет   80%  от числа девочек. Сколько процентов составляет число девочек в этом кружке от числа мальчиков?

Решение. Девочек А чел, мальчиков 0,8*А, девочки составляют от мальчиков А/(0,8А)= 1,25, т.е. 125 % от числа мальчиков

Ответ. 125%

            Задача 12. В бассейн проведена труба. Вследствие засорения её приток воды уменьшился на 60%. На сколько  процентов  вследствие этого увеличится время, необходимое для заполнения бассейна

 Решение. Пусть Х – объем воды, который должен поступить за время Т при притоке А в ед времени., т.е. Х=АТ. Так как приток уменьшился на 60%, т.е. стал составлять 0,4А, тогда время стало ТК. Получим АТ=0,4А*КТ, откуда К = 2,5, что составляет 250% от времени, необходимого на заполнение бассейна до засорения, т.е. время увеличилось на 150%

Ответ.  150%

Задача 13.5 литров сливок с содержанием жира 35% смешали с 4 литрами 20%-ных сливок и к смеси добавили 1 литр чистой  воды. Какой  жирности получилась смесь?

     Решение.  0,35*5+0,2*4=р*(5+4+1), откуда р=0,255, что составляет 25,5%

Ответ. 25,5%

2.2. Избранные задачи вариантов единого государственного экзамена.

Впервые в вариантах единого государственного экзамена по математике задача на проценты появились в 2003 году в заданиях группы В,  в 2004 и в 2005 годах такие задачи также были представлены в вариантах единого экзамена.  В вариантах 2006 года были задачи на работу, но в демонстрационном варианте 2007 года снова появляется задача на проценты, что говорит о необходимости серьезной работы над этой темой. Следует отметить, что для решения всех задач, которые предлагались, достаточно  знания тех методов, которые рассматриваются  в данной работе.

Заключение.  Данное практическое пособие позволит развить и закрепить навыки решения задач по теме: «Проценты» у учащихся 5-6 классов, может быть интересно учащимся, увлеченным математикой, а также полезно выпускникам школ и абитуриентам при подготовке к экзаменам. В дальнейшем на факультативных и кружковых занятиях возможны изучение вопроса применения процентов в экономике, в банковском деле.  Можно провести сравнительный анализ банковских  процентных ставок по потребительским кредитам и ипотечному кредитованию населения.

Литература.

1. .Быков А.А. и др В помощь поступающим в ГУ – ВШЭ, Математика, М: ГУ-ВШЭ, 2004

2.Денищева Л.О., Глазков Ю.А. и др., Учебно-тренировочные материалы для    подготовки к ЕГЭ. Математика, М: Интеллект- Центр, 2003.

 3. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Конкурсные задачи по математикеМ:   Наука, 1992.

4. Семенко Е.А. и др., Готовимся к ЕГЭ по математике, Краснодар, Просвещение-Юг, 2005.

5. Алгебра, 9, под ред. Теляковского С.А., М: Просвещение,  2001

6. Алгебра и начала анализа, 10-11, под ред. Колмогорова А.Н., М: Просвещение, 2003.

7. Математика. Контрольные измерительные материалы единого государственного экзамена в 2004 г. М: Центр тестирования, 2004.

8. Экзаменационные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. ЕГЭ 2006, М: Центр тестирования, 2005.

[1] «Математика, 5», Виленкин Н.Я. и др., «Мнемозина», 2003, с. 337

[2] «Алгебра, 9», под ред. Теляковского С.А., М: Просвещение,  2001, с.215, 223

[3] «Алгебра и начала анализа, 10-11», под ред. Колмогорова А.Н., М: Просвещение, 2003, с.306,330.

[4] «Учебно-тренировочные материалы для подготовки к ЕГЭ. Математика», Денищева Л.О., Гдазков Ю.А. и др., М: Интеллект- Центр, 2003.

«Математика. Контрольные измерительные материалы единого государственного экзамена в 2004 г.» М: Центр тестирования, 2004.

«Экзаменационные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. ЕГЭ 2006», М: Центр тестирования, 2005.

[5] «Конкурсные задачи по математике», Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., М: Наука, 1992, с330-332.

«В помощь поступающим в ГУ – ВШЭ, Математика», Быков А.А. и дрМ: ГУ-ВШЭ, 2004, с 53-64

«Готовимся к ЕГЭ по математике», Семенко Е.А. и др., Краснодар, Просвещение-Юг, 2005, с. 46-51

http://testedu.ru/

Методика использования многоуровневой системы задач по теме «Проценты»

В основе методики обучения на базе разработанной многоуровневой системы задач лежит поэтапное освоение блоков ее матрицы. Основная особенность этой методики заключается в том, что на каждом уровне, т.е. при освоении соответствующего столбца матрицы, учащийся всякий раз сталкивается со всеми тремя видами учебных ситуаций, возникающих при решении задач.

Многоуровневая система задач для каждой темы курса формируется с помощью ее матричного представления, путем выделения ранжированного перечня базовых элементов содержания образования и соответствующих им базовых задач, – с одной стороны, и уровней обученности, отражающих умения решать знакомые, модифицированные и незнакомые задачи, – с другой.  Подобную матричную модель удобно представить с помощью таблицы 1.

Такая матрица системы задач темы содержит 3 строки, соответствующие трем типам учебных ситуаций, возникающих при решении задач, и N столбцов, отражающих количество базовых задач темы. Подобное табличное (матричное) представление системы задач темы помогает осуществить полноценное наполнение на каждом уровне ее математического и деятельностного (формирование УУД) компонентов и тем самым реализовать критерии предметной и деятельностной полноты (имея в виду познавательные УУД) формируемой системы учебных задач. При этом если базовые задачи выполняют в системе роль своеобразных интеграторов предметно-содержательной компоненты, то при проектировании и реализации процесса обучения аналогичную роль должны играть универсальные учебные действия (общие методы и приемы деятельности) в выделенных ситуациях.

Учебная деятельность при решении задач, входящих в первую строку матрицы, носит репродуктивный характер (используются такие общеучебные действия, как классификация, подведение под понятие, выведение следствий, действия,  построение логической цепи рассуждений, доказательство и т.д.). Используемые при этом задачи отличаются явными связями между данными и искомыми (известными и неизвестными) элементами. Ученик идентифицирует (распознает знакомые задачи в ряду подобных), воспроизводит изученные способы или алгоритмы действий, применяет усвоенные знания в практическом плане для некоторого известного класса задач и получает новую информацию на основе применения усвоенного образца деятельности

 При решении задач второй строки репродуктивная учебная деятельность сочетается с реконструктивной, в которой образцы деятельности не просто воспроизводятся по памяти, а реконструируются в несколько видоизмененных условиях (здесь проявляются такие общеучебные действия, как выделение и формулирование познавательной цели, поиск и выделение необходимой информации, знаково-символические действия, включая математическое моделирование, структурирование знания).

 Наконец, при решении задач третьей строки учебная деятельность носит исследовательский творческий характер. Ученик должен уметь ориентироваться в новых ситуациях и вырабатывать принципиально новые программы действий (выдвигать гипотезу, проверять: обосновывать или опровергать, выдвигать новую и т.д., осуществлять исследовательскую деятельность). Решение задач соответствующего блока требует от учащегося обладания обширным фондом отработанных и быстро развертываемых алгоритмов; умения оперативно перекодировать информацию из знаково-символической формы в графическую и, наоборот, из графической в знаково-символическую; системного видения курса. Вместе с тем, оно не просто предполагает использование старых алгоритмов в новых условиях и возрастание технической сложности, а отличается неочевидностью применения и комбинирования изученных алгоритмов. Задачи этого уровня имеют усложненную логическую структуру и характеризуются наличием латентных связей между данными и искомыми элементами. Такие задачи обычно предлагаются в качестве самых трудных на вступительных экзаменах в вузы с высокими требованиями к математической подготовке абитуриентов и в заданиях С3, С4, С5, С6 КИМов ЕГЭ.

Система  учебных задач дает возможность каждому ученику максимально продвинуться в своем математическом развитии ,так как обеспечивает построение индивидуальной траекторий обучения.

Существенным элементом используемой методики служит составление на первом и втором уровнях задач самими учащимися. Ученику, допустившему ошибку при выполнении контрольных, проверочных и пр. работ и индивидуальных заданий, предлагается составить задачи, которые провоцируют допущенную ошибку. Учащиеся с удовольствием составляют задачи на варьирование ЭСО. Эта деятельность способствует сознательному усвоению полученных знаний, формированию прочных умений и навыков.

Ведущим элементом методики является работа с ключевыми задачами. Эта работа выстраивается на постепенном переходе от совместных форм деятельности к индивидуальным.  На начальных этапах изучения курса предпочтение отдается фронтальному разбору отдельных ключевых задач. На следующей стадии разбор отдельных задач сменяют уроки решения ключевых задач темы. На заключительных этапах изучения курса учащиеся выполняют групповые и индивидуальные  проекты по самостоятельному решению и составлению целесообразной последовательности ключевых задач темы.

Введение новых понятий и теоретических фактов предваряется созданием проблемных учебных ситуаций, которые адекватно отражают и раскрывают содержание формируемого понятия (теоремы).

При этом перед учителем встает методическая задача, построить нужную дидактическую проекцию предметной ситуации, в которой было введено это понятие (теорема).

В одних случаях, рассмотрев задачу или серию задач, подводящих под понятие, учащиеся самостоятельно (или с помощью учителя) приходят к необходимости введения нового понятия. Теперь перед ними может быть поставлена задача, дать формальное определение этого понятия.

В других случаях, как правило, при введении новых теорем, учитель с помощью задачи (или серии задач) создает проблемную ситуацию, в которой учащиеся осознают, что их знаний для разрешения этой ситуации недостаточно. Затем проблемная ситуация тем или иным способом (в зависимости от общего уровня обученности  класса) переводится в задачную. Новая теорема, таким образом, предстает перед учащимися в виде задачи, которую нужно решить, для того чтобы справиться с ранее поставленными задачами.    Такой подход естественно и наиболее полно отражает сущность математической (и, вообще, познавательной) деятельности. Понятно, что новая теорема при таком подходе предстает перед учащимися как ключевая задача темы.

 Это позволяет представить новый теоретический материал в виде задачи или серии задач, которые нужно решить, для того чтобы справиться с проблемной ситуацией. Иными словами, изучаемый теоретический факт предстает перед учащимися в виде ключевых задач. Такой подход естественно и наиболее полно отражает сущность математической (и, вообще, познавательной) деятельности.

Составной частью используемой методики является постоянная систематизация изученного материала и соответствующая его визуализация в виде различных таблиц, схем, графов ключевых задач, которые вывешиваются для общего обозрения в классе и фиксируются учащимися в своих тетрадях. Такая деятельность способствует формированию системности знаний. Обычно работа по структурированию и визуализации учебного материала проводится учителем совместно с учениками. Это относится и к построению орграфа понятий темы, и к построению орграфа задач темы, к построению ориентировочной основы деятельности в виде методической таблицы, содержащей типы задач (уравнений), возможные приемы их решения и примеры.

Специально разработанная компьютерная технология сбора, обработки, хранения и визуализации информации об успешности учебной деятельности каждого ученика класса (параллели) позволяет вести подсчет процента решаемости определенных типов задач, накапливать данные о трудности задач из МСЗ для дальнейшего использования параметра трудности при корректировании и наполнении системы задач, а также при проектировании индивидуальных заданий. Используемая при этом отметка по 100-балльной шкале очевидна для ученика, родителей, администрации школы. Она показывает процент компетентности ученика по каждой теме курса (курсу целиком), формирует адекватную самооценку, способствует формированию саморегуляции учебной деятельности. В результате предлагаемый подход дает учителю мощный рычаг влияния на мотивацию учебной деятельности учащихся.

 Я  применяю  многоуровневую систему учебных задач  при изучении темы «Проценты». Почему я выбрала тему «Проценты»?

Проценты – это одна из сложнейших тем математики, и очень многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют решать задачи на проценты. А понимание процентов и умение производить процентные расчёты необходимы для каждого человека. Прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, экономическую, демографическую и другие сферы нашей жизни. Изучение процента продиктовано самой жизнью. Умение выполнять процентные вычисления и расчеты необходимо каждому человеку, так как с процентами мы сталкиваемся в повседневной жизни. Проанализировав программу средней школы по математике, пришла к выводу, что по существующим программам решение задач на проценты предусмотрено в основном в 5-6 классах, а в последующих классах данной теме отдана незначительная часть учебного времени. Немецкий физик 18-го столетия Лихтенберг сказал: « То, что вы были принуждены открыть сами, оставляет в вашем уме дорожку, которой вы сможете снова воспользоваться, когда в том возникнет необходимость». Задачи на проценты становятся прерогативой химии, которая внедряет свой взгляд на проценты, а в математике их место только в рамках задач на повторение и задач повышенной трудности. Таким образом, учениками забываются проблемы универсальности процентов и разнообразия сфер их применения. В связи с этим является актуальным вопрос о том, чтобы задачи на проценты заняли достойное место в VII – IX  классах ,а затем и при подготовки к ЕГЭ. В этот период школьники изучают различные виды уравнений и их систем, закрепление которых ведется на текстовых задачах, а присутствие процентов в содержании текстовых задач дает возможность связать абстрактные математические понятия с реальной жизнью. Поэтому я решила и сделала подборку задач из ГИА – 9 классов, из ЕГЭ – 11 классов на банковские проценты, где применяется формула сложных процентов, а также провела несколько факультативных занятий.

Приведу примеры факультативных занятий, на которых мы с ребятами рассмотрели следующие модифицированные задачи.

ЗАНЯТИЕ №3

Задача5.  Неудовлетворительные оценки

В классе учится меньше 50 школьников. За контрольную работу седьмая часть учеников получила пятёрки, третья — четвёрки, половина — тройки. Остальные работы были оценены как неудовлетворительные. Сколько было таких работ?

Поскольку число школьников, получивших ту или иную оценку, всегда целое, то для решения задачи нам надо найти целое число, меньшее 50, одновременно делящееся на 7, 3, 2. Единственным возможным ответом является число 42. Это значит, что всего в классе 42 ученика; 6 из них получили пятёрки; 14 — четвёрки; 21 — тройки. Следовательно, двойку получил 1 ученик.

 Ответ :1 работа.                                                                      

Задача 6.  Уровень компота

После того, как Наташа съела половину персиков из банки, уровень компота понизился на одну треть. На какую часть (от полученного уровня) понизится уровень компота, если съесть половину оставшихся персиков?                                                                                  

Поскольку половина персиков составляет одну треть от всего компота, то половина от оставшихся персиков составляет одну шестую часть от всего компота. Учитывая, что 2/3 = 4/6, получаем ответ :1/4.

Задача 7. Доля Воробьянинова 

Остап Бендер и Киса Воробьянинов разделили между собой выручку от продажи слонов населению. Остап подумал: если бы я взял денег на 40% больше, то доля Кисы уменьшилась бы на 60%. А как изменилась бы доля Воробьянинова, если бы Остап взял себе денег на 50% больше?

 Пусть Остап взял себе x рублей, а Киса взял себе y рублей, тогда, по условию, 0,4x = 0,6y. Отсюда получим, что 0,5x = 0,75y. Следовательно, если бы доля Остапа увеличилась на 50%, то доля Воробьянинова уменьшилась бы на 75%.

 Ответ :Доля Воробьянинова уменьшилась бы на 75%.

Задача 8. Результат урожая  ржи

Посевной участок под рожь имеет прямоугольную форму. В рамках реструктуризации колхозных земель одну сторону участка увеличили на 20%, а другую уменьшили на 20%. Изменится ли в результате урожай ржи, и если изменится, то на сколько?                                                                                                                                                  Пусть a и b — исходные стороны прямоугольника. Новая площадь равна 1.2a × 0.8b = 0.96ab, т.е. площадь уменьшилась на 4%.

 Ответ: Площадь уменьшилась на 4%. На одну четверть.

ЗАНЯТИЕ №5 

№1 В двух библиотеках было поровну книг. Через год в первой библиотеке книг увеличится на 50%, а во второй в 2 раза. В какой библиотеке книг стало больше?

Действия ученика:  это незнакомая задача на % (впервые встречаются % и числа в одной

задаче)

Анализирует: Первоначально в 1 библиотеке было 100%-книг, стало 15о% книг

                        Первоначально во 2 библиотеке было 100 книг, стало 200% книг.

Вывод:        Значит, во 2 библиотеке книг стало больше.  

№2  Сахар подорожал на 30% . Сколько кг сахара можно теперь купить на те же деньги, на которые раньше покупали 3,9 кг?

 Действия ученика:  это незнакомая задача на % (задача подробно разбирается  вместе с учителем ).

До задачи необходимо включить в устный счёт две задачи вычислительные, где используется обратно пропорциональная зависимость.

Анализируем: Поскольку цена на сахар увеличилась в несколько раз, то покупатель может купить на те же деньги меньше сахара во столько же раз.

Вывод:1).130: 100=1,3 раза возросла цена

           2) 3,9: 1,3=3(кг)сахара можно купить.

Ответ:3кг

№3  Мужская рубашка стоила 8200 р. Сколько она стала стоить, когда ее цена увеличилась на 35%?

Так как 35% – это 0,35, то надо найти 0,35 от 8200 р.:

 (р.) (на столько повысилась цена).

Теперь найдем новую цену:

8200+2870=11070 (р.).

Можно рассуждать иначе. Старая цена составляет 100%, а новая – на 35% больше, т.е. она составляет 135%. Так как 135% – это 135:100=1,35, то цена увеличилась в 1,35 раза.

Имеем:  (р.).

№4  Прочитайте предложение, выразив дробь в процентах:

а) бензином заполнили  бака;

б)  учащихся школы едут в школу на автобусе;

в) масса сушеной вишни составляет  массы свежей вишни;

г) магазин продал  привезенного сахара

«… чтобы узнать, на сколько процентов увеличилась или уменьшилась данная величина, необходимо найти:

1. на сколько единиц увеличилась или уменьшилась эта величина;
2. сколько процентов составляет полученная разность от первоначального значения величины»

№5  До снижения цен холодильник стоил 250р., после снижения – 230 р. На сколько процентов снизилась стоимость холодильника?

Решение:

Узнаем, на сколько рублей изменилась цена холодильника: 250-230=20 р.

Найдем, сколько процентов составляет полученная разность от первоначальной стоимости холодильника: =0,08=8%

Ответ: стоимость холодильника понизилась на 8%..

№6  На сколько процентов 3 меньше 5?

                 Решение:  1. На сколько единиц 3 меньше 5?

                                       5 – 3 =2

                                   2. На сколько процентов 3 меньше 5?

                                       2 / 5 *100 = 40(%)

                  Ответ:  на 40 %.

  №7   На сколько процентов увеличится произведение двух  чисел, если одно из них увеличить на 50%, а другое уменьшить на 20%?

    Эту задачу полезно рассмотреть после изучения темы « Свойства сложения и умножения. Упрощение выражений».

                   Решение:  Пусть а – первое число, в – второе число, ав -  их

                   произведение; тогда  а + 0,5а = 1,5а – первое число после его

                   увеличения на 50%,  в – 0,2в = 0,8в – второе число после его

                   уменьшения на 20%;  1,5а * 0,8в = 1,2ав – новое произведение.

                   Найдем на сколько второе произведение больше первого:

                    1,2ав – ав = 0,2ав.

                   Ответим на главный вопрос задачи:  0,2ав = 0,20ав - это 20% от  ав.

                   Ответ:  на 20%.

№8   Цену товара сначала снизили на 30%, а затем новую цену снизили на 10%. На сколько процентов всего снизили первоначальную цену товара?

                Решение: Для лучшего усвоения сути решения этой задачи лучше сначала  решить ее на числовых данных. Пусть первоначальная цена товара 500 рублей.

1.     500 * 0,3 = 150(руб.) – снижена цена товара в первый раз.

2.     500 – 150 = 350(руб.) – цена товара после первого снижения.

3.     350 * 0,1 = 35(руб.) -   снижена цена товара во второй  раз.

4.     350 – 35 = 315(руб.) - цена товара после второго снижения.

5.     500 – 315 = 185(руб.) -  снижена цена товара за два  раза.

6.     185 / 500 *100 = 37(%)

Ответ:  на 37%.

      Затем решаем задачу в общем виде.

      Пусть первоначальная цена товара х рублей. После первого снижения цена товара  х – 0,3х = 0,7х. После второго снижения цена товара 0,7х – 0,1 * 0,7х = 0,7х – 0,07х = 0,63х. Итак, цена товара всего снижена на х -0,63х = 0,37х.      

            0,37 от первоначальной цены – 37%.Ответ:  на 37%.

 № 9 В России 150 миллионов жителей. 70% всех жителей – городское население. Из них 23% – дети до 16 лет. Сколько детей до 16 лет среди городского населения?

Для решения задачи можно привести рисунок (см. рис. 9). Нужно обсудить с учащимися действия решения задачи.

1. Найти число городского населения из числа всех жителей России.
2. Из числа городских жителей найти число детей до 16 лет.

Рисунок  поможет школьникам решить задачу.

Ответ: 24,15 миллионов.

Правила ограничивают учащихся, не дают им рассуждать над решением. Поэтому каждая задача на проценты становится алгоритмом и вызывает затруднения, если правило забыто. Поэтому нужно включить задачи на проценты  при изучении уравнений.  Эти задачи и предложенные способы их решения помогут учащимся старших классов осмысленно решать аналогичные, но более сложные задачи по формуле сложных процентов.  

Таким образом, мы можем разбить задачи на знакомые ( три основных вида), модифицированные (  на «потерю массы»;  на смеси , сплавы и растворы; вклады под проценты) и незнакомые ( сложные проценты).  Ученик овладевает разнообразными способами рассуждения, обогащая свой арсенал приемов и методов. Но при этом также важно, что он имеет возможность выбора и может пользоваться тем приемом, который ему кажется более удобным.     Мир задач на проценты бесконечен, эти задачи интересны, увлекательны, развивают логику, сообразительность, побуждают учащихся мыслить, но время,  отводимое в учебном плане на математику, катастрофически  падает.   Но школьный учитель – всегда оптимист, используя эффективные технологии обучения, он найдет время для развития математических способностей своих учеников путем решения задач на проценты.

Какова же результативность работы по данной технологии?

1. Учитель имеет возможность проводить всесторонний анализ учебной деятельности скользящих учебных групп, выявляются и вовлекаются в работу пассивные дети высокого интеллекта.

2. Ведётся сравнительный анализ учебной успеваемости школьников, анализ состояния индивидуализации учебного процесса, состояния дифференцированного обучения. Изучаются новые формы обучения с учетом внедрения глубокой индивидуализации.

3. Особое внимание уделяется одаренным детям, учащимся повышенного интеллекта. Выявляются дети скрытого интеллекта в учебных группах и вовлекаются в работу.

4. Планомерно ведется анализ тестовых срезов знаний и контрольных работ с целью эффективности выделения скользящих групп.

5. Деление учащихся по уровням обучения дает большой эффект: успеваемость и качество знаний учащихся по математике значительно повысились.

6. Кардинально изменилась роль учителя и ученика в ходе обучения. Мы стали действовать как равноправные партнеры.

7. Базой для реализации мною многоуровневого обучения явились основные принципы

построение обучения на высоком уровне трудности;

признание ведущей роли теоретических знаний;

      необходимость развития всех учащихся,

8. Работа по данной технологии стимулирует учителя на разработку дидактического материала нового поколения, методического обеспечения учебно-методического комплекса, разработки творческих заданий.

Современная жизнь делает задачи на проценты актуальными, так как сфера практического приложения процентных расчетов расширяется.