Рабочая программа элективного курса по математике "Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля".10 класс
рабочая программа по алгебре (10 класс) на тему

МКОУ Щелканская средняя общеобразовательная школа

Руднянского района Волгоградской области

Рабочая программа

элективного курса по математике

 Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля

 10 класса

Программу составила:

Учитель математики Ефименко И.К.

ъ

Рудня 2014

Тема: Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля

Аннотация

Элективный курс “Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля” целесообразно изучать во первом полугодии 10 класса. Он рассчитан  на 17 часов, по 1 ч в неделю. Программа поможет учащимся более качественно подготовиться к сдаче ЕГЭ, применяя знания данной темы на практике при изучении сложного раздела школьного  курса  алгебры.

         Курс построен с опорой на знания и умения, полученные учащимися при изучении математики в основной  ступени школы. Он поможет систематизировать имеющиеся  знания и дает возможность более глубоко познакомиться с разнообразными способами решения уравнений и неравенств, содержащих неизвестную под знаком модуля, приобрести практические умения грамотно использовать полученные знания на практике. Здесь акцент делается не столько на приобретение дополнительной суммы знаний по математике, сколько на развитие способностей самостоятельно приобретать знания, критически оценивать полученную информацию, излагать свою точку зрения по обсуждаемому вопросу, выслушивать другие мнения и конструктивно обсуждать их. Поэтому ведущими  формами занятий являются практические занятия. Исследовательские задания можно предлагать в качестве индивидуальных или групповых работ для 2-х - 3-х учащихся по их выбору.  

Работа учащихся в элективном курсе оценивается с учетом их активности, качества

подготовленных заданий и выступлений.

Пособие для учащихся может быть  использовано для  самостоятельного  изучения  с

выполнением значительной части практических заданий в домашних условиях.

Содержание курса выстроено по принципу от простого к сложному, от приобретения

новых умений и  навыков к  их  творческому  применению.  Это позволит  ученику  либо

убедиться в правильности  своего  предварительного  выбора, либо  изменить свой  выбор

 и  испытать свои  способности  на  каком-то  ином  направлении. Таким  образом,  в  ходе

 изучения   данного   элективного  курса  создаются   условия  для  решения,  в  частности,

 следующих  образовательных  задач:

.

Пояснительная записка

Цели и задачи проведения курса Основной задачей курса является помощь ученику в обоснованном выборе профиля дальнейшего обучения.

Создание ориентационной и мотивационной основы для осознанного выбора естественнонаучного профиля обучения.

Создание условий для формирования и развития у обучающихся:

-умений самостоятельно приобретать знания  и применять разнообразные способы решения уравнений и неравенств, содержащих неизвестную под знаком модуля на практике .

- воспитание навыков сотрудничества в процессе совместной работы в группах, парах , уважительного отношения к мнению оппонента в процессе дискуссии.

Данный элективный курс решает задачи:

- Овладение методикой выбора более удобного способа решения (умение решать уравнения и неравенства с предварительным анализом, проводить вычисления, графические построения, анализ полученных данных).

- Развития познавательных интересов, интеллектуальных и творческих способностей

учащихся в процессе самостоятельного приобретения знаний и умений  с использованием

 различных источников информации, в том числе средств современных информационных

технологий;

-Приобретение учащимися общеучебных умений: работать со средствами информации

(учебной, хрестоматийной, справочной, научно-популярной литературой, ); готовить

сообщения и доклады, оформлять и представлять их, участвовать в дискуссии.

 3. В процессе обучения учащиеся приобретают следующие конкретные умения:

- отбирать удобные способы для решения уравнений и неравенств,

- выдвигать гипотезы,

- использовать при решении  графики,

-отбирать фактические и посторонние корни уравнения,

- делать выводы,

- обсуждать результаты решения уравнений и неравенств, участвовать в дискуссии

- приобретение опыта поиска информации по заданной теме.

Учебно – тематический план

Содержание программы:

Тема 1.Вводная лекция “Знакомство учащихся с работой элективного курса”.(1 ч.)

1.Теоретическая основа занятия

Начать занятие  с краткого изложения содержания элективного курса. Следует акцентировать внимание учащихся на том, что им предстоит в течение 17 учебных часов изучить новый  материал, первоначальные сведения которого входили в курсы 7 – 9 классов предмета математики и более глубокой изучение этой темы продиктовано временем. На вступительных экзаменах по математике в вузы она присутствует.

Дать краткую характеристику того, что учащиеся узнают, завершив изучение данного курса. Это важно для формирования мотивов учения. Далее в форме эвристической беседы напомнить  учащимся определение модуля, выделить его свойства, геометрическое понятие модуля, связать это понятие с координатной прямой.  Обзор таблицы по теме элективного курса

2.Тестирование учащихся с целью выяснения уровня знаний, необходимых для усвоения данного курса. 

Тема 2-3. Графическое решение уравнений, содержащих знак модуля ( 2 час).

1.Теоретическая основа занятия

а) Правило построения графика функции y = ;

б) Рассмотреть уравнения и системы, в которые входят выражения вида y = , y = +a, y = ,   = x,   = x +a,   = .Графики этих выражений представляют собой или отдельные “уголки” с вершиной на одной из координатных осей или совокупность “уголков”, вершины которых находятся на обеих координатных осях. Такой подход является лучшей иллюстрацией соединения алгебры с геометрией.

2. Самостоятельная групповая работа  на закрепление материала

Тема 4. Раскрытие модулей. ( 1 час).

1.Теоретическая основа занятия

Первый уровень: учимся раскрывать!

   Чтобы хорошо овладеть методикой решения уравнений и неравенств с модулями , нужно  сначала научиться раскрывать сами модули .На нескольких примерах ознакомить учащихся со спецификой  этого действия.

   Показать, что благодаря умению раскрывать модули можно сокращать дроби. Необходимо при этом сделать замечание о том, что если область определения левой и правой частей тождества (равенства ) совпадают , то их можно не указывать , если же они различны , то указывать необходимо.

2.Обучающий тренажер с целью закрепления пройденного материала.

Тема 5. Уравнения с одним модулем(1 ч.)

1.Теоретическая основа занятия

Первый уровень: учимся анализировать!

   Решение простейших уравнений начать с анализ определения модуля. Затем после приведенных примеров сделать следующее замечание. На уравнение можно и нужно смотреть как на вопрос: при каком х имеет место данное равенство? В простых примерах ответ следует искать и найти устно, без письменных вычислений.

   В связи со сказанным предложить несколько вопросов для развития мышления и математического кругозора. Если ответы найти трудно. то каждое уравнение следует решать . раскрывая модуль.

2.Практические задания.

   Рассмотреть несколько содержательных примеров, применяя два способа решения. Сделать замечание, что оба способа одинаковой сложности. Обратить внимание на фактические корни и посторонние, на уравнения, имеющие бесконечно много решений.

3. Вывод: Уравнения с одним модулем вида  = g (x) равносильно совокупности двух систем:

Способ 1:                     f (x ) ≥  0                                 f (x )  <  0

             f (x ) = g (x)                        f (x ) = –g (x)

Способ 2:                     g (x) ≥   0                                g (x)  ≥   0

             f (x ) = g (x)                        f (x ) = ±–  g (x)

Частично пояснить , чем эти способы отличаются друг от друга.

Замечание .Можно решить уравнение    f (x ) = g (x)   и   f (x ) = – g (x)  и  корни каждого из них проверить подстановкой в уравнение   = g (x)

4.Предложить дома, решенный на занятии пример способом 2,  решить способом 1, который в данном случае более хлопотный.

Тема № 6. Решение уравнения, которое основано на предварительном

геометрическом или графическом анализе. (1 ч.)

1.Теоретическая основа занятия

   Полезно данное занятие провести, начиная с двух примеров, показывающих, что в некоторых случаях и способ 1 и способ 2 неприемлемы в таком виде, как были рассмотрены на предыдущем занятии.

   Показать, как можно  использовать некоторые геометрические соображения.

Пример 1 решить с помощью метода интервалов, где придется сравнивать две пары иррациональных чисел, а во втором примере попробуем избежать подобных сравнений. Вывод о корнях данного уравнения сделать на основе анализа геометрического изображения уравнения и его корней.

2.Самостоятельная групповая работа на применение геометрического или графического анализа

Тема  7. Простейшие уравнения с двумя модулями. (1 ч.)

1. Актуализация знаний

Вспомнить: в чем заключается способ 1 и способ 2?

2.Теоретическая основа занятия

   Далее рассмотреть сначала один тип уравнений, которое содержит “модуль в модуле”. Примечание: Обратить внимание на то, что если бы решая предложенное уравнение применили бы способ 1 , то могли бы и не заметить, что результат не имеет решений, Работа была бы излишней. Отсюда следует , что прежде чем начинать какой-либо пример, его надо предварительно , хотя бы визуально проанализировать.

Рассмотреть другой простой тип  уравнений  с двумя модулями, где уравнение равносильно совокупности двух уравнений.

3.Тестирование с определением истинности и ложности данных утверждений

Тема № 8. Решение уравнения вида  =   (1 ч.)

1.Теоретическая основа занятия

Так как  = , если а = ± b, то  =   <=>  f (x) = ± g (x)    <=>   f(x) – g(x) = 0

2.. Зачет  по таблице по кольцу

Тема №9. Уравнения ,содержащие два и более модуля  (1 ч.)

1.Теоретическая основа занятия

   Учащиеся должны знать, что в общем случае уравнения, содержащие модули решаются единым способом.

1.Каждый модуль нужно раскрыть согласно определению .

2.Уравнение превращается в совокупность систем.

3.Каждая система состоит из одного уравнения и одного простого или двойного неравенства.

4.Неравенство определяет промежуток, на котором рассматривается уравнение

5.Перейти к способу промежутков.

Показать, как с помощью анализа условий примера можно существенно упростить схему его решения, как анализировать структуру уравнения, как уравнение с радикалами свести к уравнению с модулями

2. Домашняя контрольная работа по теме: Уравнения , содержащие переменную под знаком модуля

Тема № 10. Решение неравенств вида≤ a   и    ≤  (1 ч.)

1. Актуализация знаний

Напомнить,  прежде всего одно  свойство числовых неравенств:

   Если а > b, a > 0, b > 0 , то и  а > b.

Верно и обратное утверждение : Если а > b, a > 0 , b > 0, то и а > b.

2.Теоретическая основа занятия

Из этих свойств следует и неравенства    ≤ a    (где a ≥ 0 ; при a < 0 решений нет)

 ≤  можно заменить равносильными им неравенствами

            f(x) – a≤ 0   и   f(x) – g(x) ≤ 0

Аналогично верно  и для неравенств  ≥ a , где  a ≥  0  и   ≥

 Заметим, что неравенство ≥ a , где  a <  0  выполняется при любом значении иx из области определения функции f.

3.Практические задания на закрепление материала

Тема № 11. Решение неравенств вида   ≤ g (x)  и  ≥ g (x)  (1 ч.)

1.Теоретическая основа занятия

1-й способ .Неравенство  ≤ g (x) равносильно двум системам неравенств

f (x) ≥  0                             f (x) < 0

f (x) ≤  g (x)                       – f (x) ≤ g (x)

Аналогично верно  и для неравенств   ≥ g (x)  

2-й способ .Неравенство  ≤ g (x) имеет решение , если      g (x) ≥  0  ; поэтому                          

                                         f(x) – g(x) ≤ 0

 ≤ g (x)    <=>         g (x) ≥ 0  

 Неравенство   ≥ g (x) выполняется для всех х, принадлежащих ОДЗ функции f(x) , при которых g (x) <  0 .

Если же  g (x) ≥ 0 , то   ≥ g (x) <=>   f(x) – g(x) ≥ 0  ,

Вывод: При решении не равенства  ≥ g (x) необходимо рассматривать два случая.

2. Обучающая самостоятельная работа  в группах

Тема № 12. Решение неравенств вида + +…+ ≤   (1 ч.)

1. Актуализация знаний (вопросы)

2. Практические задания.

   При решении неравенств указанного вида следует использовать тот же прием , что и решение уравнений , содержащих сумму модулей нескольких функций . (Тема №9) 3.Контрольная работа по теме: Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля  

Тема № 13-15. Неравенства ,содержащие переменную под знаком модуля  (3 час)

Третий уровень: исследуем, анализируем, решаем, выбираем, проверяем!

1.Теоретическая основа занятия

1.Отметить сначала следующие свойства неравенств:

1. если А < В, то А+С <  В+С  для любого С

2. если А < В  и  m >0, , то А · m <  В · m

3. если А < В  и  n < 0 , , то А · n >  В ·  n

2. Рассмотреть несколько простейших неравенств с модулем, структуру решений которых надо понять и запомнить, а далее использовать в нужных ситуациях.

3. Неравенство < с, где с – положительное число, равносильно двойному неравенству    -с < А (x) < с  или системе неравенств        А (x)  < с  

А (x)  > - с  

4. Неравенство > с, где с – некоторое положительное число, равносильно совокупности двух  неравенств            А (x)  < с  

А (x)  > - с,

а при с < 0 –  оно выполняется при всех х, принадлежащих ОДЗ выражения А (x)  .

Неравенство  ≥ 0 выполняется при всех х из ОДЗ. 

2. Творческая самостоятельная работа .

   При решении предложенных примеров происходит совершенствование практических

умений и развивается творческий подход к делу. На этом уровне учащимся предстоит

выполнить задания, основанные на раскрытии модуля по определению , на методе

промежутков, неравенства типа “модуль в модуле”, то есть такие задания , где надо

исследовать, испытать свои силы при выполнении индивидуальных  заданий, работая

настолько самостоятельно, насколько они пожелают и смогут. В завершение этого

этапа учащиеся могут представить результаты своих исследований  на занятиях.

Тема 16.Схема решений уравнений и неравенств, содержащих несколько модулей  (1 ч.)

Третий уровень: исследуем, анализируем, решаем, выбираем, проверяем!

1. Начать занятие с актуализации знаний учащихся, полученных на предыдущих занятиях.

   С этой целью можно предложить учащимся соответствующие вопросы. Сделайте предположение о возможности создания общего вида решения. Сформулируйте цель. Составьте мысленно схему.

2. Теоретическая основа занятия

   Затем с помощью учащихся сформулировать в виде краткого алгоритма общую схему решения уравнений и неравенств со знаком модуля, которая была проиллюстрирована. Оцени точность полученных результатов и сравни их с предполагаемыми. Рассмотреть применение на конкретном примере.

Замечание: В некоторых задачах под знаком модуля могут находиться выражения , содержащие в свою очередь знаки модулей . В этом случае раскрытие модулей удобно производить последовательно , начиная с самого “внутреннего” знака модуля.

3 Тест - зачет по теме: Уравнения и неравенства , содержащие переменную под знаком модуля

Тема 17-18. Заключительные  занятия (    2 часа).

1. Итоговая контрольная работа. по теме: Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля

2. На  заключительном  занятии проводится анализ контрольной работы   и обсуждение результатов элективных курсов (дискуссия). Учащиеся высказывают свои суждения, аргументируя их. Демонстрируют свои знания в данной  области. Используя при этом схемы.

В конце занятия необходимо дать заключение по каждому сообщению учащихся.

Литература

“Математика” еженедельное приложение к газете “Первое сентября” № 42/94.

 В.С.Крамор, К.Н Лунгу, А .К.Лунгу.  Математика: типовые примеры на вступительных экзаменах. Пособие для учащихся.  Учебное издание. Методическая библиотека. Москва 2000

Журнал “Математика в школе”.   Статья С.Д.Ильиной   (Новочебоксарск)

С.В.Кравцев, Ю.Н.Макаров, В.Ф.Максимов и другие “Методы решения задач по алгебре” Москва 2003

Подборка материалов из различных источников (статьи из методических журналов и газет, материалы курсов повышения квалификации)