"Определение производной"
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

МБОУ «Аллабердинская СОШ»

План конспект урока:

Задачи, приводящие к понятию производной.

Определение производной.

• Учитель физики и математики Алибаев Закир Алимович

Аллабердино

2014

Тема урока:

Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной.

Цели урока: ввести понятие производной, рассмотреть задачи, приводящие к понятию производной, закрепить умение применять физический и геометрический смысл производной на конкретных примерах.

Ход урока.

 I. Организационный момент   (3 мин)

Сообщить тему и цели урока.

II. Проверка домашнего задания. Актуализация знаний учащихся.(10   мин)

Два ученика у доски решают №39.45 (в, г) из домашнего задания, в это время идет фронтальный опрос, после которого обсуждается решение примеров на доске.

Фронтальный опрос проводится по слайдам №2, №3 и по обсуждению домашнего задания.

• Дать определение предела функции на бесконечности. Геометрический смысл.
• Дать определение предела функции в точке. Какая функция называется непрерывной в точке?
• Дать определение приращения аргумента и приращения функции.

III. Изучение нового материала.    (20мин.)

Рассмотрим простейшие задачи по математике на совместное движение и работу: 1). Легковушка со скоростью 90 км/ч и грузовик -60 км/ч едут навстречу друг другу. Через какое время  они встретятся, если в начале расстояние между ними было 300 км. 2). Трактор К-700 вспахивает 90 соток пашни в час, а ДТ-75- 60 соток в час. За какое время они вспашут 300 соток пашни?

Что объединяет эти задачи? Какие математические модели мы знаем?

Рассмотрим две задачи. Слайды №4,5.

Задача №1 (о скорости движения) По прямой, на которой заданы начало отсчета, единица измерения и направление, движется некоторое тело. Закон движения задан формулой s=s(t), где t-время, s(t)-положение тела на прямой в момент времени t по отношению к началу отсчета. Найти скорость движения тела в момент времени t.

Задача №2 (о касательной к графику функции) Дан график функции у=f(x). На нем выбрана точка А (х,f(х)), в этой точке к графику функции проведена касательная. Найти угловой коэффициент касательной.

С понятием предела непосредственно связано понятие производной.

Систематическое учение о производных было развито Лейбницем и Ньютоном, Ньютон исходил их задач механики ( ньютонов анализ создавался одновременно с ньютоновской классической механикой). Лейбниц же исходил из геометрических задач. И не случайно мы рассмотрели две различные, но фундаментальные задачи, которые утвердились в математике  как физический и геометрический смыслы производной. Слайд №6.

Итак, определение производной:

Производная непрерывной функции в данной точке равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.  

f ′ (𝑥) = .

Обозначается f ′(х)  или df/ dx, где df – дифференциал функции,

dx - дифференциал аргумента (дифференциал – бесконечно малое приращение).

Если функция имеет производную в точке хо, то ее называют дифференцируемой в точке хо.  Процедуру нахождения производной функции называют дифференцированием функции. Слайды №7,8.

Вывод. Физический смысл производной заключается в том, что мгновенная скорость – это производная пути по времени:

                                         v = S′ (t)  

Вспомним определение ускорения: а = ∆v/∆t, но если ∆t→0, то       

 а =   Итак, задача механики о нахождении скорости тела в любой момент времени решена. Нужно только вычислить предел отношения приращения пути к приращению времени, если приращение времени стремится к нулю, т. е. найти производную пути.

Вывод. Геометрический смысл производной заключается в том, что угловой коэффициент или тангенс угла наклона касательной к графику функции в данной точке с абсциссой 𝑥 равен производной функции в этой точке:  

                             kкас = tg α  = f ′ (𝑥)

IV. Динамическая пауза

V. Закрепление изученного материала.

Устно решаются номера 40.2,4,5(а,б) (Слайд №9), 40.9*(а)  из учебника : Алгебра и начала математического анализа 10 класс (профильный уровень). Под редакцией  А. Г. Мордковича.- М. :Мнемозина, 2013.

Домашнее задание: §40, № 40.3,5(в,г), №40.9*.