Математика. Подготовка к ЕГЭ - 2014. Решение заданий В9
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему
Презентация «Подготовка к ЕГЭ-2014» составлена по материалам пособий, созданных разработчиками ЕГЭ под редакцией А.Л.Семёнова и И.В.Ященко, а также Открытого банка заданий ФИПИ, содержит задание В9 первой части вариантов ЕГЭ-2014. Назначение презентации – отработка умений и навыков решения подобных заданий на этапе подготовки выпускников к единому государственному экзамену. Презентацию можно использовать многократно на всех этапах урока и на завершающем этапе подготовки к ЕГЭ.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 b9.pptx | 1.68 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
График функции
На рисунке изображен график функции y = f(x) , определенной на интервале (−3; 10). Найдите количество точек, в которых производная f(x) равна 0 . Решение . Чтобы производная функции была равна нулю, угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции в этой точке (или тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси Ох) был тоже равен нулю, поэтому касательная к графику функции в этой точке параллельна оси Ох. Проведём горизонтальные касательные, посчитаем количество точек. Ответ: 9. y = f(x )
Функция y = f(x) определена на интервале (-5;6). На рисунке изображен график функции y = f(x) . Найдите среди точек - те точки, в которых производная f(x) равна 0 . В ответе запишите количество найденных точек. Решение. Касательная параллельна оси Ох только в точках , , ( В точках , производная не существует). Ответ: 3. f ’ ( x ) не существует f ’ ( x ) не существует
На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке . Уравнение касательной дано на рисунке. Найдите значение производной функции y = 2f (x)-1 в точке . Решение. 1. Найдем производную функции у, т.е. у' = (2f (x)-1 )‘ = 2f '(x ). 2. Известно, что в уравнении касательной y = k x+ b угловой коэффициент k = f '(x). Поэтому т.к. в нашем случае у = 1,5х+3,5, то f '( x) = 1,5 . 3 . Подставим f '( x) = 1,5, получим у ' = 2f '( x) = 2· 1,5 = 3 - это и есть искомое значение производной функции y = 2f (x)-1 в точке xₒ . Ответ: 3.
На рисунке изображен график функции y=f(x) , определенной на интервале (−1; 12). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна. Решение. Производная функции отрицательна на интервалах убывания функции , т. е. на интервалах (0,5; 3), (6; 10) и (11; 12), целыми являются точки х = 1; 2; 7; 8; 9 (точки х = 3,6,10,11,12 не принадлежат интервалам убывания функции) Ответ: 5.
Прямая у=5х+5 является касательной к графику функции 8х²+29х+с . Найдите х. Решение. Тае как прямая y = кx+в является касательной к графику функции f(x) в точке х ₒ , то одновременно выполняются два условия: f ' (x) =к ; f (xₒ) = у (xₒ) . В нашем случае: 16х ₒ +29=5; х ₒ = -1,5; 8х ₒ² +29х ₒ +с=5х ₒ +5; с=23. Ответ: 23.
Прямая у = -9х+5 является касательной к графику функции ах² +15х+11 . Найдите а . Решение. Прямая у = кх+в является касательной к графику функции f(x) в точке хₒ , поэтому одновременно выполняются два условия: f ' (x ) = к ; f (xₒ) = у (xₒ) . Поэтому: 2ах ₒ +15 = -9; ах ₒ² +15х ₒ +11 = -9х ₒ +5; ах ₒ = - 12; а = 24; -12х ₒ +24 х ₒ = -6; х ₒ = -0,5. Ответ: 24.
На рисунке изображен график функции y = f(x) , определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f (x) . Решение. Точки экстремума – это точки минимума и максимума. Заданная функция имеет максимумы в точках 1, 4, 9, 11 и минимумы в точках 2, 7, 10. Поэтому сумма точек экстремума равна 1 + 4 + 9 + 11 + 2 + 7 + 10 = 44. Ответ: 44.
На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 . Решение (первый способ) Значение производной в точке касания равно тангенсу угла между данной касательной к положительным направлением оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (2; −2), B (2; 0), C (−6; 0). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB. f '(х ₒ ) = tg (180°- ( = - = - 0 , 25 . Ответ: - 0,25
На рисунке изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 . Решение (второй способ). Определим координаты двух точек на графике касательной С(-6;0), А(2;-2) (т.е. слева ; ), справа ; )) . Воспользуемся формулой углового коэффициента прямой f '(x ) = к = . В нашем случае f '(x)= значение производной функции f(x) в точке x 0 . Ответ : - 0,25. С(- 6;0) А(2;-2)
На рисунке изображён график функции y = f(x ) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 . Решение (третий способ) Уравнение касательной к функции y = f(x ) в точке x 0 имеет вид y = f ' (xₒ) · х + b . По рисунку определим, что данная касательная проходит через точки С(-6;0), А(2;-2) Составим систему уравнений , подставив координаты каждой точки вместо х и у . Получим 0 = f ' ( xₒ) · (-6) + b ; b = - 1,5; -2 = f ' ( xₒ) · 2 + b ; f ' ( xₒ) = - 0,25. Ответ : - 0,25. С(-6;0) А(2;-2)
На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к этому графику в точке абсциссой, равной 3. Найдите значение производной этой функции в точке x = 3. Решение. По условию x ₒ = 3. Рассмотрим точки касательной А(0 ;-5) и В(3;1). Воспользуемся формулой углового коэффициента прямой к = f '(xₒ)= , тогда f '( xₒ)= . Ответ: 2.
Решение. Площадь закрашенной фигуры вычисляется по формуле s = F(b)-F(a) , где а = -8 , b = - 6 . F(b)=F(-6) = -(- 6)³-21·(- 6)² - 144· (- 6) - = 324 - F(a)= F (-8) = -(- 8 )³-21·(-8)² - 144 ·(- 8 ) - = 320 - s = F(-6 )- F (-8) = 4 . Ответ: 4.
На рисунке изображён график функции y = f(x ) . Пользуясь рисунком, вычислите F(8)-F(2) , где F(x) — одна из первообразных функции f(x ) . Решение. Ответить на вопрос задачи – значит вычислить площадь фигуры, ограниченной функцией y = f(x), осью Ох и прямыми х = 2 и х = 8 . Фигура - это трапеция с основаниями, равными а = 8-2 = 6 , b = 3-2 = 1 и высотой h = 2. По формуле площади трапеции S = ( а+b ) · h найдем искомую площадь, т.е. вычислим F(8)-F(2) S = (1+6) · 2=7. Ответ: 7. а = 6 b = 1 h = 2
На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Пользуясь графиком, вычислите определённый интеграл Решение. О пределенный интеграл равен площади фигуры, ограниченной функцией y = f(x), осью Ох и прямыми х = 1 и х = 6 . Ф игура (это заштрихованная часть на рисунке) - это трапеция с основаниями, равными а = 5-1 = 4, b = 6-1 = 5 и высотой h = 3. По формуле площади трапеции S = ( а+b ) · h найдем искомую площадь, т.е. данный интеграл S = (4+5) · 3=13,5. Ответ : 13,5 .
На рисунке изображен график функции и отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку. Решение. В каждой из данных точек проведём касательную к графику функции и определим, в какой из них будет самый большой угол между касательной и положительным направлением оси Ох. При х = -1 угол самый большой, поэтому з начение производной наименьшее. Ответ: -1.
График производной функции
На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале (−10; 8). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−9;6]. Решение. Рассмотрим отрезок [−9;6 ]. Производная меняет знак с плюса на минус при x = − 4 и x = 4, Поэтому функция имеет 2 точки максимума. Ответ: 2 . + + + - - + x=-4 x=4
На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале (−7; 10). Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке [−3; 8]. Решение. На отрезке [−3; 8] функция имеет единственную точку минимума x = 2, так как в этой точке производная меняет знак с минуса на плюс. Ответ: 1.
На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале (−16; 4). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−14; 2 ]. Решение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума. Производная на отрезке [−14; 2 ] меняет знак с плюса на минус в точках х = −13; −9 (точки максимума); а с минуса на плюс в точках х = − 11; − 7 (точки минимума), поэтому функция имеет 4 точки экстремума. Ответ: 4. + + + - - -
На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале (−10; 4). Найдите промежутки убывания функции f(x) . В ответе укажите длину наибольшего из них. Решение. При х (-9;-6) и х (-2;3) значение производной функции меньше нуля , функция убывает. Длина наибольшего из этих промежутков равна 5. Ответ: 5. + + + - -
На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале (−8; 6). Найдите промежутки возрастания функции f(x) . В ответе укажите длину наибольшего из них. Решение. Промежутки возрастания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции положительна, то есть интервалам (−7; −5), (2; 5). Наибольший из них — интервал (2; 5), длина которого 3. Ответ: 3. + +
На рисунке изображен график y=f '(x) производной функции f(x) , определенной на интервале (−3; 8). В какой точке отрезка [-2;7] функция f(x) принимает наименьшее значение? Решение . На промежутке [-2 ;3) производная функции меньше 0, значит функция убывает. На промежутке (3; 7] производная функции больше 0, значит функция возрастает. Поэтому х = 3 – точка минимума на отрезке [-2;7] , при х = 3 функция принимает наименьшее значение. Ответ: 3. - + х = 3
На рисунке изображен график производной функции f(x) , определенной на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9]. Решение. На отрезке [−6; 9] функция имеет единственную точку максимума x = 7 , так как лишь в этой точке производная функции меняет знак с «+» на «-». Ответ: 1. + -
Функция y = f(x) определена на интервале (-3; 5). На рисунке изображен график ее производной. Определите, сколько существует касательных к графику функции y = f(x), которые параллельны прямой y=3x-5 или совпадают с ней. Решение. Согласно условию параллельности прямых, касательная y = kx + b к графику данной функции параллельна прямой y = 3 x -5 или совпадает с ней, если у них будут равные угловые коэффициенты k . В нашем случае k = 3. Так как k = f '(xₒ), найдём на графике производной те точки, в которых выполняется это условие. Проведём прямую f '(x)=3, то есть у = 3 получим 3 точки пересечения с графиком f '(x). Ответ: 3. y=f '(x) у = 3
На рисунке изображены график функции y = f '(x ) . Найдите среди точек - те точки, в которых функция f(x) возрастает . В ответе запишите количество найденных точек. Решение. Функция возрастает, если её производная больше нуля. Так как на рисунке показан график производной, то больше нуля она в тех точках, которые выше оси Ох , то есть в пяти точках. Ответ : 5. y = f '( x)
ГРАФИК ПЕРВООБРАЗНОЙ
На рисунке изображён график функции у = F ( х ) – одной из первообразных некоторой функции f (х), определённой на некотором интервале (-16; -2). Пользуясь рисунком, опре-делите число корней уравнения f ( х ) = 0 на отрезке[-14; -4]. Решение. Воспользуемся определением первообразной. Функцию у = F (х) называют первообразной для функции у = f (х) на промежутке Х , если для всех х из этого промежутка выполняется равенство F ' (х) = f (х) . Производная функции у равна нулю в четырёх точках. Ответ: 4. у = F (х)
Источники http ://213.208.189.17/os11/xmodules/qprint/afrms.php?proj = ФИПИ. Открытый банк ЕГЭ. Математика ЕГЭ-2014 : Математика: самое полное издание типовых вариантов заданий; под ред. А.Л.Семёнова , И.В.Ященко . – Москва: АСТ: Астрель , 2014. – 123, [ 5 ] с. - (Федеральный институт педагогических измерений). http://pedsovet.su/ шаблон фона
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Подготовка к ЕГЭ-2014 по математике. Решение задания С1.
В материале приведены решения задания С1 (тригонометрического уравнения)и 4 способа отбора корней, принадлежащих промежутку: с помощью тригонометрической окружности, с помощью графика функции, перебор...
Подготовка к ЕГЭ-2014 по математике. Решение заданий В13.
В презентации приведены решения текстовых задач - прототипов В13 из открытого банка заданий ЕГЭ по математике....
Подготовка к ЕГЭ – 2014 по математике. Подробное решение задачи С2.
Предлагаю вашему вниманию презентацию для учителей математики и выпускников(можно использовать как пособие для интерактивной доски или компьютера), в которой приведено подробное решение двух зад...
Подготовка к ЕГЭ 2014 Диагностические задания В4
В данном материале представлены четыре варианта прототипов заданий В4. Все задания взяты из открытого банка ЕГЭ 2014. Ориентированы задания на отработку умений решеть задачи на выбор вариантов и...
Презентация к уроку алгебры в 9 классе «Решение заданий ГИА 2014. Модуль «Реальная математика». Задания № 19».
Презентация содержит 27 слайдов и предназначена для использования на уроках изучения данной темы, а также на уроках повторения для обобщения и систематизации материала по теме при подготовке к э...
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА элективного курса по математике для учащихся 9 класса «Решение заданий части 1 ОГЭ»
Данный элективный курс носит обобщающий характер, направлен- на закрепление знаний, умений и навыков, полученных учащимися в 5-9 классах основной школы,- на углубление и расширение знаний по математик...