Тема 18. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. Уравнения, решаемые понижением степени. Однородные уравнения и приводимые к ним. Универсальная подстановка.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (10 класс) по теме

Тема 18. Тригонометрические уравнения.

Уравнения, решаемые понижением степени. Однородные уравнения и приводимые к ним. Универсальная подстановка.

IV. Уравнения, решаемые понижением степени.

Если уравнение содержит  в четной степени, то бывает удобно применять формулы понижения степени

Пример. Решить уравнение

Решение.

Решение  является частью множества корней

Ответ:

Решить уравнения.

1) Число корней уравнения  на интервале  равно.

                                                                                                     Ответ:

2)                          Ответ:     

3)                          Ответ:   

V. Однородные уравнения и приводимые к ним.

Однородные уравнения, то есть уравнения вида

где - некоторые числа (у всех слагаемых сумма показателей одинакова) приводятся к алгебраическим относительно  путем деления обеих частей уравнения на  соответственно.

Некоторые уравнения можно сделать однородными путем замены 1 на  путем различных преобразований функций, входящих в уравнение и т.д.

Примеры. Решить уравнение.

1)

Решение. Легко убедиться, что  не является корнем исходного уравнения. В самом деле, если , то в силу исходного уравнения, и , что противоречит основному тригонометрическому тождеству  Этот факт позволяет разделить левую и правую части уравнения на . Получим уравнение

Ответ:

2)

Решение. Поскольку  не является корнем данного уравнения, разделим левую и правую части уравнения на  В результате приходим к квадратному уравнению относительно  

Ответ:

3)

Решение. Представим правую часть данного уравнения в виде . Тогда исходное уравнение запишется в виде

 После преобразований приходим к уравнению

 разобранному в предыдущем примере.

Ответ:

Решить уравнения.

1.                                                Ответ:  
2.                                               Ответ:  
3.                                    Ответ:  
4.               Ответ:  
5.                 Ответ:  
6. Число корней уравнения  на интервале  равно.

                                                                                          Ответ:  

VI. Универсальная подстановка.

Универсальная тригонометрическая подстановка позволяет перейти от синуса и косинуса аргумента  к тангенсу половинного аргумента. Используются формулы

,           

Этим методом удобно решать линейные тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида

При переходе от синуса и косинуса аргумента  к тангенсу половинного аргумента возможна потеря решений, следует помнить, что (в этих точках  не существует). Поэтому всякий раз, когда приходится пользоваться формулами  , значения  необходимо проверять отдельно, подставляя в исходное уравнение.

Примеры. Решить уравнение.

1)

Решение. Сделаем подстановку   для сокращения письма введем новую переменную  Исходное уравнение перепишется в виде

 Значит  Отсюда

Проверим, является ли  решением данного уравнения значит   не является корнем.

Ответ:

Решить уравнения.

1.                            Ответ:  
2.                                      Ответ:   
3.                                   Ответ:
4.                              Ответ: