Темы 10,11. ПОКАЗАТЕЛЬНО-СТЕПЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ.ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА.Теория. Ключевые методы решения задач. Упражнения.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему

Тема 10. Показательно-степенные уравнения.

Показательно-степенное  уравнение - это уравнение, в котором неизвестное входит одновременно и в показатель степени, и в основание степени.

Например, уравнение вида  - показательно-степенное. Для нахождения его корней следует решить четыре уравнения:

1. приравниваем показатели (то есть ) и находим решения, учитывая что при этом не должно обращаться в нуль основание ;
2. =1 (основание равно 1). Решениями будут все значения переменной, если они входят в область допустимых значений показателей  и ;
3. =0 (основание равно 0). Решениями будут те значения переменной, при которых оба показателя  и  положительны;
4. =-1 (основание равно -1). Корнями будут те значения переменной , при которых , например, показатели  и  оба четные или оба нечетные, либо дроби с четными числителями и нечетными знаменателями и т.д.

Пример.

Сумма корней уравнения  равна 1) 2; 2) 3; 3) 5; 4) 4; 5) 6.

Решение. Данное уравнение относится к показательно-степенным уравнениям, и к нему применима соответствующая схема решения.

1. Из равенства показателей следует    Оба корня удовлетворяют уравнению, а именно при ;     

2. Полагая основание равным 1, получим  Очевидно, что уравнение обращается в тождество.

3. Полагая основание равным 0, получим  Очевидно, что левая часть уравнения не имеет смысла при  так как получим .

4. Полагая основание равным -1, получаем  При  уравнение обращается в тождество . Итак, корнями уравнения являются числа -2; 3; 2; 0. Следовательно, сумма равна 3 и в качестве ответа выбираем ответ под номером 2).

Ответ: 2.

Решить уравнения.

1. .                                                                     Ответ: -1; 2; 4.
2.                                                                 Ответ: ; 2.
3.                                                                             Ответ: ; 2.
4.                                                           Ответ: -1; -2; 3.
5.                                                                Ответ: 0; 1; 2; 3; 4.
6.                                                              Ответ: -1; 2; 3; 4.

Тема 11. Показательные неравенства.

Используя методы решения показательных уравнений, показательное неравенство свести к простейшему, вида  

Полученное неравенство записать в виде   и сделать выводы:

1. если , то   и решить это неравенство;
2. если  то  и решить это неравенство.

Примеры.

1) Решить неравенство .

Решение. Основание степени  меньше единицы, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству .

              -                    +                     -

/////////////////////                         ///////////////////

                    -1                      1                  х

Ответ: .

2) Решить неравенство

Решение. Введем новую переменную  Тогда исходное неравенство примет вид  Решением этого неравенства является множество  С учетом условия  получаем . Тогда

Ответ:

3) Решить неравенство

Решение. Запишем неравенство в виде   

 +                    -                    -                   +

      /////////////////////                                          /////////////////  

             0               5                      7                х

Ответ:

3. Решить неравенство

 .

Решение. Найдем связь между основаниями

Итак, исходное неравенство можно записать в виде . Теперь оценим основание.  так как  Таким образом, для показателей степени получаем неравенство противоположного знака

 -                       +                  -                   +

     /////////////////////                     /////////////////////  

          -3                -2                      1               х

Ответ: 1].

5) Решить неравенство

Решение. 

Ответ: .

Решить неравенства.

1.                                                                         Ответ:
2.                                          Ответ:      
3.                                                          Ответ:    
4.                                                          Ответ:
5.                                                      Ответ:
6.                                                                Ответ:
7.                                                                      Ответ: