Презентации уроков "Числовые последовательности", "Формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии", "Сравнение целых чисел"
презентация к уроку по алгебре (9 класс) по теме

Бесконечные последовательности:
(
a
n
)
1, 3, 5, 7, 9, 11,…
-
последовательность нечетных чисел (
возрастающая)
(
a
n
) -
5, -10, -15, -20, -25, …
- последовательность отрицательных чисел, кратных 5 (
убывающая)
Конечные последовательности:
(
a
n
)
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
-
последовательность однозначных натуральных чисел.
(
a
n
)
10,20,30,40,50,60,70,80,90
– последовательность двузначных чисел, кратных 10.
17.03.2013 14:59
Примеры
последовательностей
Табличный способ
a
n
a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
a
7
a
8
a
9
a
10
(a
n
)


4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
17.03.2013 14:59
Числа Фибоначчи

х
1
=х
2
=1; х
n+2
=x
n+1
+x
n
;
n=1
; 2; 3; …
Последовательность чисел Фибоначчи задается так:
Вычислим несколько
её первых членов:
1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21;
34;55; 89; 144;
233; 377; …

Треугольник Паскаля
Бесконечная числовая таблица треугольной формы,
где по боковым сторонам стоят 1,
а каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа.





1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1
Продолжи строчку!

1 6 15 20 15 6 1
Карточка № 1.
Дана последовательность
(
a
n
),
которая задается формулой
a
n
=1/
n
.

А) Найдите первые шесть членов этой последовательности и отметьте их на координатной прямой:

0 1
х


a
1
=____ ;
a
2
=____;
a
3
=____;
a
4
=____;
a
5
=____;
a
6
=____.
Б) Заполните пропуски в предложениях:
1)
a
50
=____; 2)
a
__ = 0,05; 3)
a
10
–
a
100
=_________________;
4) Наибольшим из всех членов последовательности (а
n
) является:
a
__=_____;
5) Наименьший член последовательности
______________________________________
;
6*)При бесконечном увеличении
n
, члены последовательности стремятся к
___;
7*) Для любого натурального
n
выполняется условие
_____≤
a
n
≤_____
.
Приложение 2
Урок по алгебре
в 9 классе

Числовые последовательности
Числовая последовательность задана формулой. Заполните таблицу.
7
9
11
13
15
17
19
21
?
?
?
?
?
?
?
?
Обозначение

Обозначают члены последовательности
:
a
1

;
a
2
;
a
3
;
a
4
; … ;
a
n
; …
Читают:
(« а первое», «а второе», … , «а
n
-
ое
», … )
Последовательность
a
1

;
a
2
;
a
3
;
a
4
; … ;
a
n
;
…
обычно обозначают

(
a
n
)
17.03.2013 14:59
Рекуррентный способ задания последовательности
Название способа произошло от слова «
recurro
»
-
возвращаться
.
Рекуррентной называется формула, выражающая любой член последовательности, начиная с некоторого через предыдущие
.

Например:
а
1
=4,
a
n
+1
=
a
n

+1

a
2
= a
1
+1
=
4
+
1=5,

a
3
= a
2
+1
=
5
+
1=6,…

17.03.2013 14:59
Историческая справка
Между числами Фибоначчи и треугольником Паскаля существует интересная связь. Подсчитав для каждой восходящей диагонали треугольника Паскаля сумму всех стоящих на этой диагонали чисел, получим:
для 1 диагонали – 1; для 2 диагонали – 1;
для 3 диагонали – 1+1=2; для 4 диагонали – 1+2=3;
для 5 диагонали – 1+3+1=5; для 6 диагонали – 1+4+3=8;
для 7 диагонали – 1+5+6+1=13 ….
Мы получили не что иное, как числа Фибоначчи. Оказывается, что всегда сумма чисел n-ой диагонали есть n-ое число Фибоначчи.
b
1
b
2
b
3
b
4
b
9
b
10
b
n-1
b
n
b
n+1
Карточка № 2
Последовательность задана формулой

b
n

=
n
2
+1
. Заполните таблицу:
Приложение
3
Тема урока:
Числовы
е последовательности
МКОУ
Мокровская
ООШ
Учитель математики: Матвеева Наталья Михайловна
Гусь-Хрустальный район
Владимирская область
Историческая справка
Блез Паскаль (1623 – 1662 )
 один из самых знаменитых людей в истории человечества. Треугольник Паскаля – это бесконечная числовая таблица треугольной формы, в которой на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Последовательности
Задания для устного счета
Упражнение 12
9 класс
Понятие последовательности

Выпишем в порядке возрастания положительные четные числа.
Первое число
-
2
Второе число
-
4
Третье число
-
6
Четвертое число
-
8

и т.д.
Получим ряд чисел:

2
;
4
;
6
;
8
;
…
;
2*
n;…
он образует последовательность
.
Числа, образующие последовательность, называются первым, вторым,
…, n
-м членом последовательности:
17.03.2013 14:59
Задание последовательности формулой
1)
a
n
= 3*n +2
,

a
5
= 3*5+2

17

a
10
= ?

32
a
100
= ?

302
2)
a
n
= 3+n
,
a
5
= ?

8

a
10
= ?

13

a
100
= ?

103
3)
a
n
= n
2
+1
,
a
5
= ?

26
a
10
= ?

101
a
100
= ?

10001
4)
a
n
= 2
n-1


,

a
5
= ?

16

a
7
= ?

64
a
10
= ?

512
17.03.2013 14:59
Замечание
Числовые последовательности
являются частным случаем

функций с натуральным
аргументом.
Самостоятельная работа 4.1
Числовая последовательность.
Вариант 1
А1. Рассматривается последовательность натуральных чисел, делящихся на 3: 3, 6, 9, ... .

а) Выпишите первые 5 членов этой последовательности.
б) Запишите шестой член последовательности.
в) Определите, содержится ли в этой последовательности числа 19 и 27.
Самостоятельная работа 4.1
Числовая последовательность.
Вариант 2
А1. Последовательность
(
х
n
)
задана формулой
n

-го члена

х
n
=
n
2
-5
n

а) Выпишите первые 5 членов этой последовательности.
б) Запишите седьмой член последовательности.
в) Определите, содержится ли в этой последовательности число -4.
Приложение
2
Дни
недели
Названия

месяцев
Классы
в школе
Номер
счёта
в банке
Дома
на улице
Последовательности
составляют
такие элементы природы,
которые можно пронумеровать

Последовательности заданы формулами:
a
n
=(-1)
n
n
2
a
n
=n
4
a
n
=n+4
a
n
=-n-
2
a
n
=2
n
-5
a
n
=3
n
-1
2. Укажите, какими числами являются члены этих последовательностей
Положительные и

Положительные

Отрицательные отрицательные

Выполните следующие задания:
Впишите пропущенные члены последовательности:
1; ___; 81; ___; 625; …
5; ___; ___; ___; 9; …

___; ___; 3; 11; ___;


-1; 4; ___; ___; -25; …

___; -4 ; ___; ___; -7; …

2; 8; ___; ___; ___; …
16 256

6 7 8
-3 -1 27

-9 16

-3 -5 -6

26 80 242
ПРОВЕРЬ

СЕБЯ
Числовая последовательность задана рекуррентной формулой.
Заполните таблицу.
1
3
7
15
31
63
127
255
?
?
?
?
?
?
?
Задание последовательности описанием
Пример:
Составить последовательность, в которой на

четных местах 0, на нечетных местах – 1.
Получим последовательность:
(
a
n
) 1; 0; 1; 0; 1; 0; …
17.03.2013 14:59
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
Связь между числами Фибоначчи
и треугольником Паскаля
Между числами Фибоначчи
и треугольником Паскаля существует связь. Подсчитаем для каждой восходящей диагонали треугольника Паскаля сумму всех стоящих на этой диагонали чисел, получим:
Для 1 диагонали –
1
;
Для 2 диагонали –
1
;
Для 3 диагонали – 1+1=
2
;
Для 4 диагонали – 1+2=
3
;
Для 5 диагонали – 1+3+1=
5
;
Для 6 диагонали – 1+4+3=
8
...
В результате мы получаем числа Фибоначчи:
1; 1; 2; 3; 5; 8; …
Всегда сумма чисел
n
-ой диагонали есть
n
-ое число Фибоначчи.
Цели урока:
Образовательные:

ввести понятие числовой
последовательности;рассмотреть
способы её задания и свойства
Развивающие:
развить умение проводить сравнение, анализ, обобщение, развивать математическую речь
Воспитательные:
формирование умения работать в группах, формировать навыки самоконтроля
Способы задания последовательностей
1. Описанием
2. Формулой общего члена
3. Рекуррентный
4.Таблицей
17.03.2013 14:59
Найдите закономерности
и покажите их с помощью стрелки:
1; 4; 7; 10; 13; …
В порядке возрастания
положительные нечетные
числа
10; 19; 37; 73; 145; …
В порядке убывания
правильные дроби
с числителем, равным 1
6; 8; 16; 18; 36; …
В порядке возрастания
положительные числа,
кратные 5
½; 1/3; ¼; 1/5; 1/6;
Увеличение
на 3

Чередовать увеличение
на 2 и увеличение в 2 раза
1; 3; 5; 7; 9; …
5; 10; 15; 20; 25; …
Увеличение в 2 раза
и уменьшение на 1

П
Р
О
В
Е
Р
Ь
С
Е
Б
Я
Числовая последовательность задана формулой. Заполните таблицу.
0
2
6
12
20
30
42
56
?
?
?
?
?
?
?
?


Ответы

«Тебе сказано: раздели 10 мер хлеба на 10 человек, если разность между каждым человеком и следующим за ним составляет 1/8 меры»
Задачи из папируса Ахмеса или Райнда
Если камушки (или другие предметы) разложить рядами в форме треугольника так, что в первом ряду положить 1 камень, во втором – 2 и т.д., то их количество называли «треугольным числом». Таким образом, треугольные числа образуют такую последовательность: 1, 2, 3, 4, …, а сумма этих камушков образует треугольное число.
Треугольное число - это и есть сумма
n
-первых членов арифметической
прогрессии.
1 + 2 + 3 + …+100 = ???
+
Арифметическая

прогрессия

Каждый член последовательности начиная со второго есть среднее арифметическое между предыдущим и последующим членами прогрессии
Характеристическое свойство

х
1
,
х
2
,
4,
х
4
,14
, …
найти:
х
4

Х4=9
Тип урока:
урок изучения нового материала
Цель урока:

формирование знаний о нахождении суммы
n
- первых членов арифметической прогрессии.
Древний Египет, страна великих достижений человеческой мысли, великих астрономов и математиков.
Самый большой, сохранившийся до наших дней, древнеегипетский математический текст – это папирус писца
XVIII
–
XVII
веков до нашей эры Ахмеса. Он имеет размер 5,25 м на 33 см, содержит 84 задачи.

Историческая справка
Когда Карлу было 9 лет, учитель задал задачу всему классу найти сумму первых ста натуральных чисел, чтобы дети не мешали ему проверить письменные работы учеников другого класса. Через 1 минуту Карл произнес: «Я уже решил... – и сдал работу. К концу урока сумму вычислили и остальные.
I

вариант
II

вариант
Формула суммы
n-
первых членов арифметической прогрессии
Урок алгебры в 9 классе
МКОУ
Мокровская
ООШ
Учитель математики:
Матвеева Н.М.
Гусь-Хрустальный район
Владимирская область
I

вариант
Найти сумму всех последовательных натуральных чисел с
74
до
113
включительно
II

вариант
Найти сумму всех последовательных натуральных чисел с
40
до
130
включительно
Из истории Арифметической прогрессии
"Математика - царица всех наук, а арифметика - царица математики"
Карл Фридрих Гаусс
30 апреля 1777 г. - 23 февраля 1855 г.
« О, сколько нам открытий чудных...
Готовит просвещенья дух,
И опыт – сын ошибок трудных,
И гений – парадоксов друг»
А.С. Пушкин
Найти сумму первых
14
членов прогрессии
8
; 15; 22;…
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
;...арифметическая прогрессия
1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 =

55
1+ 2 + 3 + 4 + 5 =

15
-
сумма
n
первых членов арифметической прогрессии
Домашнее задание:
П.4.3
№ 615; № 617; № 621; № 622
Задачи урока:
образовательные:

познакомить учащихся с формулами нахождения суммы
n
- первых членов арифметической прогрессии, информировать обучающихся об истории возникновения и бывшего названия суммы
n
- первых членов арифметической прогрессии
развивающая:

развивать творческую и мыслительную деятельность обучающихся на уроке посредством вывода формул суммы
n
- первых членов арифметической прогрессии.
воспитательная:

способствовать формированию навыков коллективной работы в группах и самостоятельной работы при выводе формул.
Индийский астроном и математик
Ариабхата

(
V
в.)
применял формулы общего числа, суммы
n
членов арифметической прогрессии.
Правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в сочинении итальянского математика
Леонардо Пизанского «Книга абака»
1202г.
сумма
n
первых членов арифметической прогрессии
1)
2)