Учебный проект: "Прогрессии: Вчера. Сегодня. Завтра".
материал по алгебре по теме

Опубликовано 06.06.2012 - 18:17 - Черкашина Ольга Евгеньевна

В данной работе собраны и обобщены исторические сведения об арифметической и геометрической прогрессиях. Учащимися подобраны интересные задачи, показывающие практическое применение в жизни данного учебного материала.

Скачать:

Вложение	Размер
progressii_up.docx	863.45 КБ

Предварительный просмотр:

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «ПОКРОВСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА»

Учебный проект

Авторы проекта: учащиеся 9 класса: Федай Анастасия, Мендгалиев Амангельды, Алёхина Анна, Геляжева Эльвира, Яхъяева Зубайдат.

Руководитель группы: Черкашина Ольга Евгеньевна, учитель математики МБОУ «Покровская СОШ».

ЦЕЛИ УЧЕБНОГО ПРОЕКТА:

Развитие самостоятельных умений учащихся.
Способствовать овладению навыками поискового мышления.
Активизировать интерес к предмету алгебра через поиск и решение как стандартных, так и занимательных задач.
Формировать умения видеть связь математики с жизнью.
Достичь компетентности по теме всеми учащимися, участвующими в проекте, основанной на способах приобретения знаний из различных источников информации.
Развитие творческих способностей учащихся.

ЗАДАЧИ:

- достичь достаточно глубоко усвоения учащимися темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии»;

- показать учащимся прикладную направленность этого материала;

- уяснить, как формировалось представление о прогрессии на протяжении веков;

- Создать условия, при которых учащиеся пользуются приобретёнными знаниями при решении практических задач.

ТИП ПРОЕКТА: практико-ориентированный.

ВИДЫ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ: творческий, информационный, прикладной.

ПРИМЕНЯЕМЫЕ УМЕНИЯ: проектные (организационные, информационные, поисковые, коммуникативные, презентационные, оценочные); предметные (математические).

ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ: групповая и индивидуальная.

ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ ВЫПОЛНЕНИЯ: учебная четверть.

СРЕДСТВА ОБУЧЕНИЯ: печатные, наглядные, компьютерные презентации.

ПРОБЛЕМНЫЕ ВОПРОСЫ УЧЕБНОЙ ТЕМЫ:

Откуда вошло в нашу жизнь слово «прогрессия».
Арифметическая и геометрическая прогрессии – что это?
Имеют ли прогрессии практическое применение в повседневной жизни?

C формулой (1) связан интересный эпизод из жизни немецкого математика Карла Гаусса (1777-1855). Когда ему было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников в других классах, задал на уроке следующую задачу: «Сосчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 40 включительно:

1+2+3+4+5+…+40». Каково же было удивление учителя, когда один из учеников (это был Гаусс) через минуту воскликнул: «Я уже решил!» Большинство учеников после долгих подсчётов получили неверный результат. В тетради Гаусса было одно число, зато верное. Вот схема его рассуждений: Сумма чисел в каждой паре равна 41:

1,2,3,…20 +

40,39,38,…21

41,41,41…41

Таких пар 20, поэтому искомая сумма равна 41х20 = 820.

Арифметические прогрессии и их свойства изучались математиками с древних времён. Греческих математиков интересовала связь с так называемыми многоугольными числами, вычислением площадей, объёмов, красивыми числовыми соотношениями типа:

1=12 1=13

1+3=22 3+5= 23

1+3+5=32 7+9+11 = 33

1+3+5+7=42 13+15+17+19=43

Большой популярностью даже в наши дни пользуются магические квадраты. Это квадраты, в каждую клетку которых вписаны числа так, что суммы чисел вдоль любой горизонтали, любой вертикали и любой диагонали равны. Такой магический квадрат изображён на гравюре немецкого художника А.Дюрера «Меланхолия».

Дюрер составил первый в Европе так называемый магический квадрат...

При g = 1 геометрическая прогрессия одновременно является и арифметической. Если g больше 1, то члены геометрической прогрессии быстро растут. В результате при сравнительно небольших номерах получаются числа-гиганты. С древнейших времён известны задачи и легенды, связанные с неправдоподобной на первый взгляд скоростью роста членов геометрической прогрессии. Одна из наиболее известных легенд – легенда об изобретателе шахмат. Индийский царь Шерам призвал к себе изобретателя шахмат (которого звали Сета) и предложил, чтобы он сам выбрал себе награду за создание интересной и мудрой игры. Царя изумила скромность просьбы, услышанной им от изобретателя. Тот попросил выдать ему за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую – два, за третью ещё в два раза больше, т.е. 4 и т.д. Эта задача привлекла внимание Л.Н.Толстого. Приведём часть его расчёта (шахматная доска здесь названа шашечницей): «Клеток в шашечнице восемь с одной стороны и восемь с другой; 8 рядов по 8=64.

На 1-ую 1, на 33-ю 4294967296

На 2-ю 2, на 34-ю 8589934592

На 3-ю 4, на 35-ю 17179869184

На 4-ю 8, на 36-ю 34359738368

………………………………………………………………………………….

На 62-ю 2305843009213693952

На 63-ю 4611686018427387904,

На 64-ю 9223372036854775808.

Если 40000 зерён в одном пуде, то на одной последней клетке вышло 2305843000921369 пудов. Число зёрен, о которых идёт речь, является суммой 64 членов геометрической прогрессии, первый член которой равен единице, а знаменатель равен 2.

Масса такого числа пшеничных зёрен больше триллиона тонн. Это заведомо превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени. Можно вычислить, что если бы такое число зёрен рассыпать равномерно по всей земной суше, то образуется слой пшеницы около 9 мм.

ИЗ ИСТОРИИ ПРОГРЕССИЙ.

Теоретические сведения, связанные с прогрессией, впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции.

Первые из пришедших до нас задач на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, как например, распределение продуктов, деление наследства и т.д.

Слово «прогрессия» латинского происхождения, буквально означает «движение вперёд". Первоначально под прогрессией понимали всякую числовую последовательность, построению по закону, позволяющему неограниченно продолжать её в одном направлении, например, последовательности натуральных чисел, их квадратов и кубов.

На связь между прогрессиями первый обратил внимание великий Архимед.

В 18 веке в английских учебниках появились обозначения арифметической и геометрической прогрессий

Арифметическая: *

Геометрическая: : **

Древнейшая задача на прогрессию – не вопрос о вознаграждении изобретателя шахмат, насчитывающий за собой двухтысячелетнюю давность, а гораздо более старая задача о делении хлеба, которая записана в знаменитом египетском папирусе Ринда. Папирус этот, разысканный Риндом в конце 19 века, составлен около 2000 лет до нашей эры и является списком с другого, ещё более древнего математического сочинения, относящегося, быть может, к третьему тысячелетию до нашей эры. В числе арифметических, алгебраических, геометрических задач этого документа имеется такая:

«Сто мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго и пятый больше четвёртого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше трёх остальных. Сколько нужно дать каждому?»

РЕШЕНИЕ.

Очевидно, количества хлеба, полученные участниками раздела, составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть первый член х, разность у. Тогда:

Доля первого………………………………х

Доля второго………………………………х+у

Доля третьего……………………………..х+2у

Доля четвёртого………………………….х+3у

Доля пятого…………………………………х+4у

На основании условий задачи составляем следующие два уравнения:

х+(х+у)+(х+2у)=(х+3у)+(х+4у)=100

7(х+(х+у))=(х+2у)=(х+3у)+(х+4у).

После упрощений получаем:

х+2у=20

11х=2у

Решив эту систему, получаем:

Х=1 2/3, У=9 1/6

Значит, хлеб должен быть разделён на следующие части:

1 2/3, 10 5/6, 20, 29 1/6, 38 1/3.

Несмотря на пятидесятивековую древность этой задачи на прогрессии, в нашем школьном обиходе прогрессии появились сравнительно недавно. В учебнике Магницого, изданном двести лет назад и служившем целых полвека основным руководством для школьного обучения, прогрессии хотя и имеются, но общих формул, связывающих входящие в них величины между собой, в нём не дано. Сам составитель учебника не без затруднений справлялся поэтому с такими задачами. Между тем формулу суммы членов арифметической прогрессии легко вывести простым и наглядным приёмом с помощью клетчатой бумаги. На такой бумаге любая арифметическая прогрессия изображается ступенчатой фигурой. Например, Фигура АВСD на рисунке изображает прогрессию:

2; 5; 8; 11; 14.

Чтобы определить сумму её членов, дополним чертёж до прямоугольника АВGE. Получим две равные фигуры ABCD и ABGE.

Площадь каждой из них изображает сумму членов нашей прогрессии. Значит, двойная сумма прогрессии равна площади прямоугольника ABGE, т.е.

(АС +CE) x AB.

Но АС +CE изображает сумму 1-го и 5-го членов прогрессии. Поэтому двойная сумма

2S = (сумма крайних членов)х(число членов) ИЛИ

S= (первый +последний член)х(число членов).

1-ая вариация. Исследуем результат решения задачи. «Турист, двигаясь по сильно пересечённой местности, за первый час пути прошёл 800 метров, а за каждый следующий час проходил на 25 метров меньше, чем за предыдущий. Сколько времени он потратил на весь путь, равный 5700м.?»

Обозначив буквой n время движения туриста, мы получили для n две возможности: n1= 8, n2=57. По смыслу задачи из двух найденных значений надо выбрать первое: n=8. Почему не подходит второе значение? И, вообще, каков содержательный смысл второго значения, откуда оно взялось? Исследуем этот факт.

Дело в том, что математической моделью ситуации является арифметическая прогрессия 800,775,750,725… . Сумма первых членов этой прогрессии равна 5700 дважды, причём первый раз это происходит при n=8:

88+775+750+725+700+675+650+625=5700.

На 41-ом месте в данной прогрессии находится число 0, к этому моменту число Sn достигает максимума:

S41= 12300

Начиная с 42-го места члены прогрессии становятся отрицательными числами, сумма n членов прогрессии становится всё меньше и меньше и ,наконец, получается, что S57=5700. Вот теперь становится предельно ясно, почему по смыслу данной задачи взять нужно лишь значение n=8.

2-ая вариация. «Прогрессии и решение уравнений».

Знания, полученные при изучении прогрессий, можно применять для решения уравнений, соответствующих теме.

РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ:

(х2+х+1)+(х2+2х+3)+(х2+3х+5)+…+(х2+20х+39)=4500

РЕШЕНИЕ.

Слагаемые, стоящие в левой части уравнения, образуют арифметическую прогрессию. В прогрессии 20 членов (это число нечётных членов последовательности).

а1 =х2+х+1, а2=х2+2х+3, а3=х2+3х+5

а2-а1=х2+2х+3-х2-х-1=х+2

а3-а1=х2+3х+5-(х2+2х+3)=х2+3х+5-х2-2х-3=х+2d=x+2

S20=a1+a20 20

а20=х2+20х+39

S20=x2+x+1+x2+20x+39 20

10(2x2+21+40)=4500

2x2+21x+40=450

2x2+21x-410=0

D=441+3280=3721, D>0

X1= -21+61=10

X2=-21-61=-20,5

ОТВЕТ: х=10; х=-20,5.

ЖЕМЧУЖИНА ПЕРВАЯ.

Индийский царь Шерам призвал к себе изобретателя шахмат (которого звали Сета) и предложил, чтобы он сам выбрал себе награду за создание интересной и мудрой игры. Царя изумила скромность просьбы, услышанной им от изобретателя. Тот попросил выдать ему за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую – два, за третью ещё в два раза больше, т.е. 4 и т.д. Обрадованный царь посмеялся над Сетой и приказал выдать ему такую «скромную» награду. Стоит ли царю смеяться?

ЖЕМЧУЖИНА ВТОРАЯ.

ЖЕМЧУЖИНА ТРЕТЬЯ.

В огороде 30 грядок, каждая длиной 16 метров и шириной 2,5 метра. Поливая грядки, огородник приносит вёдра с водой из колодца, расположенного в 14 метрах от края огорода, и обходит грядки по меже, причём воды, приносимой за один раз, достаточно для поливки только одной грядки. Какой длины путь должен пройти огородник, поливая весь огород? Путь начинается и кончается у колодца.

ЖЕМЧУЖИНА ЧЕТВЁРТАЯ

Старшеклассники обязались вырыть на школьном участке канаву и организовали для этого бригаду землекопов. Если бы бригада работала в полном составе, канава была бы вырыта в 24 часа. НО в действительности к работе приступил сначала только один член бригады. Спустя некоторое время присоединился второй; ещё через столько же времени – третий, за ним через такой же промежуток четвёртый и так до последнего. При расчёте оказалось, что первый работал в 11 раз дольше последнего. Сколько времени работал последний?

ЖЕМЧУЖИНА ПЯТАЯ.

В старинной арифметике Магницкого мы находим следующую забавную задачу: Некто продал лошадь за 156 рублей. Но покупатель, приобретя лошадь, раздумал её покупать и возвратил продавцу, говоря: - Нет мне резона покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит. Тогда продавец предложил другие условия: - Если по – твоему цена лошади высока, то купи только её подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего 1/ 4 копейки, за второй- 1/ 2 копейки, за третий- 1 копейку и т. д. Покупатель, соблазнённый низкой ценой, и желая получить лошадь даром, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придётся уплатить

не более 10 рублей. Насколько покупатель проторговался?

РЕШЕНИЕ.

За 24 подковных гвоздя пришлось уплатить

1+ 1 +1 +2 +22 +23 +…+ 224-3

4 2

Копеек. Сумма эта равна 4194303 ¾ коп.

Т.е. около 42 тысяч рублей. При таких условиях не обидно дать и лошадь впридачу.

ЖЕМЧУЖИНА ШЕСТАЯ

Из другого старинного русского учебника математики, носящего пространное заглавие: « Полный курс чистой математики, сочинённый Артиллерии Штык-Юнкером и Математики партикулярным Учителем Ефимом Войтяховским в пользу и употребление юношества и упражняющихся в Математике»(1795), заимствую следующую задачу: «Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 копейка, за другую-2 копейки, за третью – 4 копейки и т. д. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 рублей 35 копеек. Спрашивается число его ран.»

РЕШЕНИЕ.

Составляем уравнение

65535=1+2+22+23+…+2х-1

Или

65536=2х и х=16

При столь «великодушной» системе вознаграждения воин должен получить 16 ран и остаться при этом в живых, чтобы удостоиться награды в 655 руб. 35 коп.

ПРОГРЕССИИ В ЖИЗНИ И БЫТУ

Для решения некоторых задач по физике, геометрии, биологии, химии, экономике, строительному делу пользуются знаниями арифметической и геометрической прогрессии.

ПРОГРЕССИИ И БАНКОВСКИЕ РАСЧЁТЫ

Представьте себе, что вы открыли в банке вклад в сумме а рублей под р % годовых на t лет. У вас есть две стратегии поведения: либо в конце каждого года хранения вклада снимать проценты по вкладам, т.е. полученную прибыль в размере p x a руб.,

100

Либо прийти в банк один раз – в конце срока хранения вклада. Какой доход вы получите в том и другом случаях?

В первом случае при t=1 вы получите ( a + p x a ) руб.,

100

При t =2 ваша итоговая сумма составит (a + 2p x a)руб.,

100

При t =3 ваша итоговая сумма составит (a + 3p x a)руб., и т.д.

100

Математическая модель ситуации – арифметическая прогрессия.

Итак, через t лет вы получите a(1+ tp ) руб,- это так называемая

100

формула простых процентов.

Если вы решили прийти в банк только в конце хранения вклада, то при t=1 получаемая сумма составит, как и в первом случае ( a + p x a ) руб., , т.е.

100

a(1 + p )

100 руб.; сумма вклада увеличивается на (1 + p )

100 величину ежегодно.

Математическая модель ситуации – геометрическая прогрессия.

Итак, при второй стратегии поведения за t лет вы получите a(1 + p)

100 руб. – это так называемая формула сложных процентов.

Рассмотри конкретный пример. Пусть вклад составит 10000 руб. Банк даёт 10% годовых, срок хранения вклада – 5 лет. Если вы выбрали стратегию простых процентов, то к концу хранения вы получите в итоге сумму, равную 10000 (1 + 10х 5) т.е. 15000 руб.

100

Если же вы выбрали стратегию сложных процентов, то к концу храпнения вы получите сумму, равную 10000(1 + 10 )5 т.е. 16501,1 руб.

100

ЗАДАЧА 1.

В качестве подготовки к крупному соревнованию стайер каждый день пробегал некоторую дистанцию. Длина дистанции ежедневно увеличивалась на 20 метров по отношению к предыдущему дню. В конечном итоге оказалось, что стайер за семь последних дней пробежал расстояние в два раза больше расстояния, которое было пройдено за первые семь дней. Сколько дней продолжалась подготовка, если в общей сложности стайер пробежал 85500 метров?

РЕШЕНИЕ. Введём в рассмотрение арифметическую прогрессию, каждый член которой означает длину дистанции стайера в k-й день подготовки. По условию задачи разность d этой прогрессии равна 20. Если n – количество дней подготовки бегуна, a Sk – сумма первых k членов введённой прогрессии, то условие задачи равносильно выполнению системы

Sn =85500

2S7 =Sn –Sn-7

Выразим в системе уравнений Sn , S7 , Sn-7 через а1 и d и решив эту систему получим квадратное уравнение n2 – 7n -2850 = 0? Получим корни: n1 = -50,

n2 =57

Ответом является n2 =57.

ЗАДАЧА 2.

За установку самого нижнего железобетонного кольца колодца заплатили 2600 руб., а за каждое следующее кольцо платили на 200 руб. меньше, чем за предыдущее. Кроме того, по окончанию работы было уплачено ещё 4000 руб. Средняя стоимость установки одного кольца оказалась равной 2244 4/9 руб. Сколько колец было установлено?

РЕШЕНИЕ.

Выплаты за установку колец образуют арифметическую прогрессию: a1 =2600,

d=-200, n – число колец, S n –стоимость установки n колец;

(Sn + 4000): n – средняя стоимость установки одного кольца, которая по условию задачи оказалась равной 2244 4/9 руб.

2х2600 – 200(n -1) х n +4000 = 2444 4/9 х n

n1 =9, 9 принадлежит N; n2 не принадлежит N.

Ответ: 9 колец.

Проект проводился по теме «Прогрессии: Вчера. Сегодня. Завтра».

Основное внимание уделялось на самостоятельное изучение темы учащимися. Работа над проектом позволила учащимся достичь глубокого усвоения учебного материала по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии», сформировала представление о развитии прогрессии на протяжении веков, научила видеть прикладную направленность данного материала, применение прогрессий в жизни. Исторический материал был представлен в виде буклета, а затем в виде общей презентации. Работа по прогрессиям развивала познавательный интерес учащихся, учила их видеть связь между математикой и окружающей жизнью. Результат исследовательской работы: прогрессия была вчера, есть сегодня и будет завтра – получен!