Пособие для подготовки к ЕГЭ по математике
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

                          Квадратный корень.

Определение:        , а не существует

Тождества: (|, , где в

Сравнения: если а>в≥0, то

                     Если а>1, то а>,

                    Если  0 <а<1, то 0.

Вынесение из под корня: , где в≥0  

 Внесение под корень: а                    

( .

Иррациональность в знаменателе:;

                         Корень n –ой степени.

.    

Свойства: 1)     2)    3)  

        4)  5)   6)7)а

                       8)  

Примеры:

Иррациональность в знаменателе:

Сравнения:      и

                        и  

        , значит  >

!!!   Вычислить: , пусть =а, заметим, что а<0 так как первый корень меньше второго корня. Возведем обе части в квадрат, получим а=4, а=, так как а<0, то

= -2

        Ответ: -2

                          Свойства степеней.

1) а  2) а   3)(а     4)(ав)

5)  6)   а                                            

                                Многочлены.

1) а=(а-в)(а+в)   2) (а+в)   3) (а-в)

4)(а-в)  5) (а+в)  

6)а    7) а

                         Разложить на множители

ах- разложение квадратного трехчлена

2аа+3)+в(а+3)=(а+3)(2а+в)- способ группировки.

Тема

Главное по теме

Умения и навыки

Оценка

Моя

Учителя

Числа

Уметь преобразовывать числа в стандартный вид. Выполнять действия с числами.

Степень числа

Знать свойства степени и выполнять преобразования.

Квадратный корень

Знать свойства  квадратных корней и выполнять преобразования

Корень п-ой степени

Знать свойства  корней п –ой степени и выполнять преобразования

Одночлены и многочлены

Уметь выполнять преобразование с одночленами и многочленами

Формулы сокращенного умножения

Знать формулы сокращенного умножения и уметь их применять при решении задач

Разложение на множители

ИТОГОВАЯ ОЦЕНКА

Тема

Главное по теме

Умения и навыки

Оценка

Моя

Учителя

Алгебраические выражения

Уметь выполнять преобразования ,используя формулы сокращенного умножения

Степенные выражения

Уметь выполнять преобразования, используя свойства степени.

Дробно – иррациональные выражения

Уметь выполнять преобразования, используя свойства корня.

Логарифмические выражения

Уметь выполнять преобразования, используя свойства логарифмов.

Тригонометрические выражения

Уметь выполнять преобразования, используя  тригонометрические форулы

ИТОГОВАЯ ОЦЕНКА

А-1.   Вычислить: (17-

А-2. Вычислить:  

          А-3 Вычислить: (6 -4(

А-4. Вычислить:  

А-5. Упростить:(а

А-5. Упростить:   , при х=16, у=25

Уровень В.

В-1. Упростить:

В-2. Упростить:

В-3. Упростить:

В-4. Упростить:

УровеньС

С-1. Найти х?

С-2. найти х?

А-1.   Вычислить: (5+17

А-2. Вычислить:  

А-3. Вычислить (3+2(

А-4. Вычислить:  

А-5. Упростить:   (в

А-5. Упростить: , при х=16, у=25

Уровень В.

В-1. Упростить:

В-2. Упростить:

В-3. Упростить:

В-4. Упростить

УровеньС

С-1. Найти х?

С-2. найти х?

А-1

А-2

А-3

А-4

А-5

А-6

В-1

В-2

В-3

В-4

С-1

С-2

1 вариант

3

1

1

144

13/6

5

-2

-2

2

5

2

25

2 вариант

2

9

1

36

13/4

4

1

3

-1

1

3

9

Абсолютной величиной

( модулем) числах называется неотрицательное число определяемое соотношением

=.  |5│=5, |-5|=5

Основные свойства модуля:

Для любых действительных х и у:

|x| > 0.

|-x| = |x|.

|x2| = x2.

-|x| < x < |x|.

|x·y| = |x|·|y|.

|x/y| = |x|/|y|, y 0. 

1. вычисли:- =

-=|1-|-=-1-=-1

              Уравнения.

При решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, применяются чаще всего следующие методы: 1) раскрытие модуля по определению; 2) возведение обеих частей уравнения в квадрат; 3) метод разбиения на промежутки. Алгоритм решения уравнения.        Чтобы решить уравнение, содержащее переменную под знаком модуля, надо: Освободиться от знака модуля, используя его определение; Найти критические точки, то есть значения переменной, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль;

1. Разбить область допустимых значений переменной на промежутки, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак;
2. На каждом из найденных промежутков решить уравнение без знака модуля.

1)      |х-5|=3.         х-5≥0     х≥5       х=8

                              Х-5=3    х=8    

                             Х-5<0       х<5

                              Х-5=-3     х=2    х=2

Ответ: 2;8

2)      |х+6| - |х-1|=9.        |

                                    -6                           1

a) х<-6, то –х+6+х-1=9        ,  0х=4, нет решения.

б) -6≤х<1, то  х+6+х-1=9, х=2,

в)  х≥1    ,то х+6-х+1=9,  0х=2, нет решения

Ответ: х=2

                    Неравенста.

Алгоритм решения неравенств.

│х│≥ а ,то                                    

1) |х-4|≥8, то                                                                    

Ответ:   х

Если: │х│≤ а  , то  -а ≤ х≤а

2)     |х+7|≤3,        

     -3 ≤ Х+7≤3,

     -10≤ Х≤-4.  

Ответ: х

3)      |х-2| - |х-4|<5.        

                                       2                 4

а)  х<2, то –(х-2)+(х-4) <5,  0х<7, тогда х- любое, но мы задали х<2, значит х

б)  2≤х<4, то х-2+х-4<5,  х<5,5, так как задана область   2≤х<4, то х

в) х≥4, то х-2-х+4<5, 0х<3, х- любое, но задана  область х≥4, значит х

Ответ: х

А-1. Найдите произведение корней уравнения: |х-3|=4

А-2. Укажите меньший корень уравнения: |х|=5

А-3 Укажите корни уравнения: |х+4|= - 3х

В-1 Найдите наибольший целый корень: |х|=|5-2х|

В-2.  Найдите наибольший целый корень  |х-2|-|5+х|=3

В-3. Найдите значения выражения:

В-4 Построить график функции:

У=

С-1. Решите уравнение: cosх+0,5|cosх|sinх=0

С-2. Решите уравнение:

(logloglog=

C-3. Найти значение выражения.

А-1. Найдите произведение корней уравнения: |х+1|=5

А-2. Укажите меньший корень уравнения: |х|=0

А-3 Укажите корни уравнения: |х+4|= 2х

В-1 Найдите наибольший целый корень: 2|х+1|=|3-х|

В-2. Найдите наибольший целый корень  |5-х|+|х-1|=10

В-3. Найдите значения выражения

В-4 Построить график функции:

У=

С-1. Решите уравнение:

cosх-0,5|cosх|sinх=0

С-2. Решите уравнение:

((

C-3. Найти значение выражения

А-1

А-2

А-3

В-1

В-2

В-3

С-1

С-2

С-3

1 вариант

2

2

2

5

-3

24

(-1)

-13

2 вариант

3

2

2

-5

-2

-2

;

Ln 4

12

1. Уравнение вида ах+в=0, где а и в –некоторые постоянные, называется линейным уравнением.

Если а=0;в0, то уравнение не имеет решений;

Если а=0 и в=0, то любое значение х – есть решение;

Если а0, то х=-- один корень.

2х-3=0; 2х=3;х=1,5

2.Квадратные уравнения: ах+вх+с=0.

если Д=0, то уравнение имеет один корень: х= -.

если Д<0, то корней нет.

      Если Д>0, то х

2х+5х-1=0;Д=25-42(-1)=33;

х

Не полные квадратные уравнения:

А) х+5х=0;  х(х+5)=0;  х = 0 или х = - 5.

В) 6х-8=0;   6х= 8; х=

Формулы Виета

х+рх+g=0, если х- корни уравнения, то

Иррациональные уравнения.

Если в уравнении неизвестная величина содержится под знаком радикала, то такое уравнение называется иррациональным

А) .Возведем обе части в квадрат:

х+2= х, решим квадратное уравнение.х=2;х=-1. выполним проверку: при х=2, ,верно

при х=-1, , ложно. Ответ: х=2

В) =р, где р>0 тогда

р+р-2=0; р=1 и р=-2. Следовательно р=1, тогда =1; х=1.Ответ:1

Г) ;

, возведем обе части в квадрат и обозначив =а, получим:

а+а-12=0, которое имеет корни а==3 и а=-4. тогда=3; х=30. И =-4; х=-64.

Ответ:30;-64

Дробно – рациональные уравнения

1.       ( *10),

         2(х-4)-5(х+1)=30;

        2х-8-5х-1=30;  -3х=21;  х=-7

2. ; ОДЗ: х+1

                                         х

х(х-2)-(х+1)(х+2)=(х+1)(х-2);  х=0, х= -4

3.;

;

;      (х+4)=0, а (х+1)(х+5)

Ответ: х= -4

                                             Решить уравнение

А-1  cos= -

1) +6  2) +2 3)-+6  4)+2

Укажите число целых корней уравнения

А-2 

1)3        2)5      3)7      4)1    

Уровень B

Найдите корень (или сумму корней)

B-1   4= 64      

B-2   6x+    

  Уровень А

Найдите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

А-3       

1)      2)    3)  4)  

Укажите наименьший положительный корень уравнения

А-4             

1)    2)   3)  4)      

Найдите все решения уравнения

А-5           

1)        2)       3)        4)    

Укажите промежуток, которому принадлежит корень

            А-6                                   

1)         2)    3)              4)  

Уровень B

Сколько корней имеет уравнение

B-3         

Найти сумму корней

B-4                                           

                                             Решить уравнение

 А-1    sin=-

1)  2)3) 4)

Укажите число целых корней уравнения

А-2      лежащих на промежутке

1)7      2)9    3)11     4)3

Уровень B

Найдите корень (или сумму корней)

B-1   

B-2     3x-

Уровень А

Найдите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

А-3  

1)     2)   3)  4)

Укажите наименьший положительный корень уравнения

А-4 

1)    2)    3)    4)

Найдите все решения уравнения

А-5                                 

1)          2)

3)     4)

Укажите промежуток, которому принадлежит корень

А-6         

1)        2) 3)          4)

Уровень B

Сколько корней имеет уравнение

B-3     

Найти сумму корней

B-4     

А-1

А-2

В-1

В-2

А-3

А-4

А-5

А-6

В-3

В-4

1 вариант

1

1

12

1

1

4

2

4

4

-2 6/7

2 вариант

2

2

4

2

3

2

4

3

4

12

       Метод Горнера:    х3-6х2+15х-14=0:

Коэффициент при старшей степени равен 1, поэтому целые числа, которые могут быть корнями уравнения, являются делителями свободного члена: + _1, + _2,+ _7, +_14.

Используя схему Горнера, найдем целые корни уравнения.

(х-2)(х2-4х+7)=0

2)х3-х2-8х+12=0     ответ:2;3        

3)х4-2х3-8х2+13х-24=0

4)х5-7х3-12х2+6х+36=0

5)4х4-7х2-5х-1=0

6)2х3-х-5х2+1=0

Если уравнение имеет рациональный корень  а/в, то а является делителем свободного коэффициента 1, а в  является делителем старшего коэффициента 2, поэтому среди всех рациональных чисел корнями могут быть только числа  +_1,   +_1/2

Используя схему Горнера, найдем рациональные корни уравнения.

Ответ:1/2

Симметричные уравнения

Уравнения вида ах,у которого коэффициенты членов, равноудаленных от начала и конца, равны называются симметричными или возвратными.

Симметричные уравнения имеют свойство: если число х есть решение, то и , также будет его решением, ни один корень симметричного уравнения не может быть равным 0. Симметричные уравнения могут быть четной так и нечетной степени.

ах    (:х)

ах=0

а(х+)+в( х+)+с=0, пусть  х+=t, тогда х+=t-2.Получим уравнение:

а(t-2)+вt+c=0, решаем относительно t.

Симметричные уравнения нечетной степени имеют корень: х = -1

2х, делим многочлен2хна х+1.Получим 2х+3х+2=0(:х),

2х=0, пусть  х+=t, тогда х+=t-2.Получим уравнение:

2(t-2)+3t-16=0, t=-4 t=2,5

Ответ: х = -1, х =-2, х =0,5, х =2

Решение уравнения методом выделения полного квадрата.

Выделим полный квадрат: х+4х-7 =

 х+4х+4 - 4-7=(х+2)-11

решим уравнение методом выделения полного квадрата. х+(=8,

х+2х+(-2х=8,

(х+)-=8

(-=8, пусть=а,

а-2а-8=0;а=4, а= -2

=4, х- 4х+4=0,  х=2

= -2, х+2х -2=0, х = -1

Ответ: х=2, х = -1

Линейные неравенства.

А) 3х≥ -6;   х≥ -2( !! знак не меняется)

Б)-5х< -10;   х>2 ( !! знак меняется, при делении на отрицательное число)

В)  0х< 2;   х – любое.

Г) 0х>8;    нет решения.

Квадратные неравенства.

1. ах+вх+с>0,если а>0

 Д=0,то                  Д<0,то                   Д>0,то

Все значения х,     х – любое  х<х, х > х

Кроме х =

1. если  а<0, то при

Д=0,то                  Д<0,то             Д>0,то

Нет решения         Нет решения         х<х<х

Метол интервалов

1. х >9; х-9 >0;                                 

Ответ: х

2.  (х-4)(х+5)≤0;        

Ответ:х

3.          

Ответ:  х

Иррациональные неравенства

а<0, то нет решений

а=0, то х=0

а>0, то х

а<0, то х

а=0, тох=0

а>0, то х

Показательные неравенства

а>а

при а>1, функция возрастает. F(х) >G(х)

 при 0<а <1, функция убываетF(х).

Логарифмические неравенства

logF(х)> g(х), при а>1,F(х)>0,g(х)>0, то F(х)>а

                       при  <0а<1, F(х)>0,g(х)>0, то F(х)<а

 Неравенства с обратными тригонометрическими функциями

1.      arcos х<  -5, решений нет, так как  

0. ≤arcosх≤  

2.   arcos х<  ,       х

3.   arcos х>1,       х

4.  arcos х<,      х

5.  arcos х<  ,       х

6.   arcos х≤0,         х

Тригонометрические неравенства

        Sin х≤,  х

cos х<, х

        tgх≤        , х

Тема

Главное по теме

Умения и навыки

Оценка

Моя

Учителя

Неравенства

Знать свойства неравенств и уметь их применять. Изображать на координатной прямой множества решений простейших неравенств

Линейные неравенства

Уметь решать простейшие неравенства

Квадратные неравенства

Знать метод интервалов и уметь его применять при решении неравенств

Иррациональные неравенства

Уметь решать неравенства, используя понятие корня и его свойства

Показательные неравенства

.Иметь представление о показательном неравенстве.

2. Уметь решать неравенства

Логарифмические неравенства

Уметь решать неравенства, используя свойства логарифмической функции

Неравенства смешанного типа

Используя свойства функций, применяя комбинирование нескольких алгоритмов, уметь решать неравенства

ИТОГОВАЯ ОЦЕНКА

Параметр - математический объект, количественно и качественно характеризующий задачу и влияющий как на процесс, так и на результат ее решения.

В рамках условия конкретной алгебраической задачи параметр можно рассматривать в качестве:

1) фиксированного, но неизвестного числа;

2) независимой переменной (или функции);

3) алгебраического выражения.

Главная особенность параметра заключается в его неопределенности. Степень неопределенности зависит от условия конкретной задачи. Решить задачу с параметром - значит указать ее решение для каждого значения параметра из заданного множества, называемого областью изменения параметра.

Решить уравнение с параметром – значит, для  любого допустимого значения параметра найти  множество всех корней  заданного уравнения.

1. При каких значениях параметра a уравнение (a - 1)x + 2x + a - 1 = 0

имеет ровно один корень?

Решение. При a = 1 уравнение имеет вид 2x = 0 и, очевидно, имеет единственный корень x = 0. Если a  1, то данное уравнение является квадратным и имеет единственный корень при тех значениях параметра, при которых дискриминант квадратного трехчлена равен нулю. Приравнивая дискриминант к нулю, получаем уравнение относительно параметра a,        4- (а-1)(а-1)=0

откуда a = 0 или a = 2.  Ответ: уравнение имеет единственный корень при a = {0; 1; 2}.

2. При каких значениях a сумма квадратов корней уравнения x-2ax+a- a = 0

больше чем 12?

Решение. Дискриминант уравнения x-2ax+a2-a = 0 равен 4a. Поэтому действительные корни этого уравнения существуют, если a ≥ 0. Применяя к данному уравнению теорему Виета получаем x1+x2 = 2a и x1·x2 = a2-a. Отсюда x12+x22 = (x1+x2)2-2x1·x2 = 2a2+2a. Решениями неравенства 2a2+2a > 12, удовлетворяющими условию a≥ 0, являются числа a > 2.   Ответ: a > 2.

3. При каких значениях параметра а уравнение  не имеет решения?

Решение. Построим графики функций

Ответ:

4. При каких значениях параметра а система уравнений

   не имеет решения?

Решение.

Ответ:

5. |x-8|=m. Решим данное уравнение двумя способами.

Решение уравнения с помощью определения модуля.

1)    Если m<0, то уравнение не имеет корней.

2)    Если m=0, то уравнение примет вид:

x-8 = 0;    x=8

3)    Если m>0, то x-8=m        x-8=-m

x=m+8       x=8-m

Способ возведения в квадрат. |x-8|=m

1)Если m≠0, то   (x-8)²=m²

   x²-16x+64-m²=0

   a=1 b=-16 c=64-m²

    x1/2 =8±√64-1*(64-m²)

    x1/2 =8±√m²              x1/2 =8±|m|

    x1=8-|m|                    x2 =8+|m|

    2)Если m=0, уравнение примет вид:

       |x-8| = 0;        (x-8)² = 0²

      x²-16x+64 = 0

      x1/2 = (16±√256-256)/2

      x1/2 = (16±0)/2

      x=8

Ответ. x=8-m, x=8, x=8+m.