Методическая копилка

Слайд 1

Конус

Слайд 2

Усечённый конус

Слайд 3

Цилиндр Конус Усечённый конус Площадь боковой поверхности S бок =2πRh S бок = πRl S бок = πl ( R+R 1 ) Площадь полной поверхности S пол =2 πRh +2π R 2 S пол = πRl +π R 2 S пол = πl ( R+R 1 ) +π R 2 + πR l 2 Объём V= π R 2 h V= π R 2 h V= π h(R 2 + R 1 2 + RR 1 )

Слайд 4

Устные упражнения: Высота конуса равна 4 см, радиус основания – 3 см. Найти образующую конуса. 1 5

Слайд 5

Радиус конуса равен 5 см, образующая равна 8 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса. 2 40 π

Слайд 6

Образующая конуса равна 13 см, радиус основания – 5 см. Найдите высоту конуса. 3 12

Слайд 7

Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 3 раза? 4 3

Слайд 8

Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 1,5 раза? 5 2,25

Слайд 9

Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 3 раза? 6 3

Слайд 10

Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 1,5 раза, а образующая останется прежней? 7 1,5

Слайд 11

Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите его объем, деленный на π . 8 128

Слайд 12

Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника АВС вокруг катета, равного 6. Найдите его объем, деленный на π . 9 72

Слайд 13

Радиус основания конуса равен 3, высота равна 4. Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на π . . 10 24

Слайд 14

Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 27. 11 81

Слайд 15

12 Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса. 2

Слайд 16

Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на π . 9

Слайд 17

Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6. Найдите его объем, деленный на π . . 16

Слайд 18

Длина окружности основания конуса равна 3, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса. 6

Слайд 19

Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах. 60

Слайд 20

Площадь полной поверхности конуса равна 12. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса. 3

Слайд 21

Найдите объем части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите . 87,75

Слайд 22

. Найдите объем части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите 243

Слайд 23

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд? 490

Слайд 24

Конусообразная палатка высотой 3,5 м и диаметром основания 4 м покрыта парусиной. Сколько квадратных метров парусины пошло на палатку? Образующая конуса , что примерно составляет 8,06 м. Тогда площадь боковой поверхности конуса равна что примерно составляет 5,3 м 2 . На палатку пошло примерно 25,3 м 2 парусины. Ответ: 25,3 м 2 Решение. 25,3

Слайд 25

Домашнее задание: Подобрать по теме «Конус» 5 задач из банка данных по математике и решить их .

Слайд 1

Дюжина задач на параметры 1 Задачи из сборника «30 задач, ЕГЭ-2019» и других источников, а также специально составленные задачи

Слайд 2

Сборник «30 задач, ЕГЭ-2019». Вариант 12 1. Найдите все значения a , при каждом из которых наименьшее значение функции y = 2 ax + больше 1 . Решение. Переформулируем задачу. Найдём все значения a , при каждом из которых неравенст во > 1 2 ax (1) выполняется при любом значении a . Обозначим b = 2 a . Перепишем неравенство (1) в виде : > 1 + bx ( 2 ) Строим в одной системе координат графики функций: 1) y = и 2) y = 1 + bx . 2

Слайд 3

Графический способ 1. Найдите все значения a , при каждом из которых наименьшее значение функции y = 2 ax + больше 1 . …Неравенство (2) выполняется при любых значениях x при тех значениях b , при которых все точки графика функции 1) находятся выше соответствующих точек прямой 2). Верхняя граница значений b соответствует прямой y = 1 + bx , проходящей через точки (0; 1) и (3; 0), т. е. b = . При больших значениях b прямая пересекает более чем в одной точке. 3

Слайд 4

Графический способ 1. Найдите все значения a , при каждом из которых наименьшее значение функции y = 2 ax + больше 1 . …Нижнюю границу значений b найдём из условия, что прямая y = 1 + bx и парабола y = пересекаются в одной точке. Уравнение = 1 + bx имеет единственный корень при b = 8 2 и b = 8 2 . Первое из этих значений соответствует изображённому на рисунке случаю. 4

Слайд 5

Графический способ 1. Найдите все значения a , при каждом из которых наименьшее значение функции y = 2 ax + больше 1 . …Итак, графики функции 1) и прямой 2) имеют единственную общую точку при b = и при b = 8 2 , не имеют общих точек, т. е. график функции 1) находится выше прямой 2) и неравенство (2) выполняется для любого значения x при 8 2 < b < . Откуда следует, что 8 2 < 2 a < , т. е. < a < 4 + . 5

Слайд 6

Досрочный экзамен. Резерв. 10.04.2019 2. Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение 3 sin x – cos x = a (1) имеет ровно 1 корень на отрезке . Решение. Разделим уравнение (1) на : sin x – cos x = . (2) В первой четверти существует число t , такое, что sin t = , cos t = . 6

Слайд 7

Вспомогательный угол 2. Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение 3 sin x – cos x = a (1) имеет ровно 1 корень на отрезке . Решение. Разделим уравнение (1) на : sin x – cos x = . (2) В первой четверти существует число t , такое, что sin t = , cos t = . Тогда tg t = и из x ≤ следует, что – t x – t ≤ – t . 7

Слайд 8

Вспомогательный угол 2. Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение 3 sin x – cos x = a (1) имеет ровно 1 корень на отрезке . … Причём < – t < , а 0 < – t < ( см. рис. ) . Перепишем уравнение (2) в виде : sin ( x – t ) = . (3) Уравнение (3) имеет ровно 1 корень на отрезке , если: = 1, т. е. a = . 8

Слайд 9

Вспомогательный угол 2. Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение 3 sin x – cos x = a (1) имеет ровно 1 корень на отрезке . …Или если sin ( – t ) sin ( x – t ) < sin ( – t ), < 2 Ответ. < 2 , a = . 9

Слайд 10

Замена неизвестного 3. Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение ­ 2 a + 3 = 0 (1) имеет хотя бы 1 корень. Решение. Заметим, что = ≥ 1, значит, t = ­ ≥ 0; > 0. 10

Слайд 11

Замена неизвестного 3. Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение ­ 2 a + 3 = 0 (1) имеет хотя бы 1 корень. Решение. Заметим, что = ≥ 1, значит, t = ­ ≥ 0; > 0. Перепишем уравнение (1) в виде t 2 a + 3 = 0 ( 2 ) Задача свелась к отысканию всех значений a , таких, что уравнение (2) имеет хотя бы один неотрицательный корень. 11

Слайд 12

Замена неизвестного 3. Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение ­ 2 a + 3 = 0 (1) имеет хотя бы 1 корень. …Если 2 a + 3 = 0 , т. е. если a = 1,5, то уравнение (2) имеет вид: t = 0 , = 0 . (3) Уравнение (3) имеет единственный корень = 0 . Значит, a = 1,5 удовлетворяет условиям задачи (уравнение (1) имеет корень = 1. 12

Слайд 13

Замена неизвестного 3. Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение ­ 2 a + 3 = 0 (1) имеет хотя бы 1 корень. …Если 2 a + 3 > 0 , т. е. если a < 1,5, то уравнение (2) не имеет корней, так как его левая часть положительна, а правая – нуль. Если 2 a + 3 < 0 , т. е. если a > 1,5, то квадратичная функция f ( t ) = t 2 a + 3 в точке t = 0 принимает отрицательное значение, а так как коэффициент при положительный, то функция имеет два нуля и р азных знаков. 13

Слайд 14

Замена неизвестного 3. Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение ­ 2 a + 3 = 0 (1) имеет хотя бы 1 корень. …Это означает, что при t > 1 , 5 уравнение (2) имее т положительный корень, тогда и уравнение (1) имеет корень, т. е. все a > 1,5 удовлетворяют условиям задачи. Объединив все найденные значения a , имеем: a ≥ 1,5. Ответ. a ≥ 1,5. 14

Слайд 15

Графический способ 4. Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение ) + = 0 (1) имеет единственный корень. Решение. Перепишем уравнение в виде ) (2) Все значения функции y = неотрицательны. График парабола, ветви которой направлены вверх. На промежутке функция y = ) достигает наибольшего значения sin 1 в точке x = 0 . 15

Слайд 16

Графический способ 4. Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение ) + = 0 (1) имеет единственный корень. …При a < 0 значения функции y = 2 a ) отрицательны на промежутке , её график не имеет общих точек с параболой. При a = 0 уравнение (1) имеет единственный корень x = 0. При a > 0 уравнение (1) имеет единственный корень при условии, что ) , т. е. при 16

Слайд 17

Графический способ 4. Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение ) + = 0 (1) имеет единственный корень. …Осталось убедиться, что при a = 0 и при a = 2 уравнение (1) не имеет других решений. При a = 0 это очевидно, а при уравнение (1) можно записать в виде ) ). При x = 0 равенство верно, при x 0 нет, т. к.. правая часть уравнения отрицательна, а левая положительна. Ответ. a = 0 , a = 2 sin 1 . 17

Слайд 18

Метод xOa 5 . Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение (1) имеет единственный корень. Решение. Уравнение (1) имеет единственный корень при таком значении a , при котором система имеет единственное решение x . 18

Слайд 19

Метод xOa …Уравнение системы (2) имеет два корня при любом значении a , значит, нужно найти, при каких значениях a один корень уравнения удовлетворяет ограничениям: , , , а другой — нет. Но это долгая история. Мы пойдём другим путём. Рассмотрим уравнение (2) с двумя неизвестными. Будем изображать его решения ( x ; a ) точками ( x ; a ) в системе координат xOa — отсюда и название метода. 19

Слайд 20

Метод xOa …Начнём с ограничения , которое запишем в виде (3) Левая часть неравенства (3) обращается в нуль для каждой пары чисел ( x ; a ) , если x = 0 или a = . Все такие точки лежат на пунктирных прямых, координаты этих точек не удовлетворяют неравенству (3). Все точки ( x ; a ) , координаты которых удовлетворяют неравенству (3), лежат в закрашенных областях. Надо найти все значения a , при каждом из которых одно решение ( x ; a ) уравнения (2) принадлежит закрашенной области, другое нет. 20

Слайд 21

Метод xOa …Так как , то перепишем уравнение (2) в виде (4) Построим график функции (4), применяя метод «сложения» графиков для функций и . 21

Слайд 22

Метод xOa …Так как , то перепишем уравнение (2) в виде (4) Построим график функции (4), применяя метод «сложения» графиков для функций и . Получим две «ветви» графика. 22

Слайд 23

Метод xOa …Так как , то перепишем уравнение (2) в виде (4) Построим график функции (4), применяя метод «сложения» графиков для функций и . Получим две «ветви» графика. Нашим ограничениям удовлетворяют лишь точки графика функции (4), лежащие в закрашенной области. Уравнение (1) имеет единственный корень лишь при ≥ 1. Ответ. ≥ 1. 23

Слайд 24

Метод областей 6. Найдите все значения a , при каждом из которых система имеет три решения. Решение. Построим в системе координат xOy фигуру F , заданную уравнением (1). = 0, если = 0, если 24

Слайд 25

Метод областей 6. Найдите все значения a , при каждом из которых система имеет три решения. …Прямые и разбивают плоскость на 4 области. В области I уравнение (1) имеет вид: x y + x + y = , x ( x 1) = , x = 0, x = 1, y любое число. 25

Слайд 26

Метод областей 6. Найдите все значения a , при каждом из которых система имеет три решения. … В области II уравнение (1) имеет вид: x y + x + y = , y = . Дальше можно рассмотреть области III и IV … 26

Слайд 27

Метод областей 6. Найдите все значения a , при каждом из которых система имеет три решения. … Заметим, что вместе с точкой ( x y ) фигуре F принадлежит и точка ( x y ). 27

Слайд 28

Метод областей 6. Найдите все значения a , при каждом из которых система имеет три решения. … Заметим, что вместе с точкой ( x y ) фигуре F принадлежит и точка ( x y ). То есть фигура F симметрична относительно начала координат. Уравнение (2) задаёт прямую 28

Слайд 29

Метод областей 6. Найдите все значения a , при каждом из которых система имеет три решения. … При a = 0 прямая пересекает фигуру F в трёх точках. Система имеет три решения. При a 0 прямая пересекает фигуру F в двух точках. Система имеет два решения. Ответ. a = 0. 29

Слайд 30

Метод областей 7. Найдите все значения a , при каждом из которых система имеет более двух решений. Решение. Построим в системе координат xOy фигуру F , заданную уравнением (1). Модули обращаются в нуль при и соответственно. 30

Слайд 31

Метод областей 7. Найдите все значения a , при каждом из которых система имеет более двух решений. Решение. Построим в системе координат xOy фигуру F , заданную уравнением (1). Модули обращаются в нуль при и , соответственно. Эти четыре прямые разбивают плоскость на 9 областей. 31

Слайд 32

Метод областей 7. Найдите все значения a , при каждом из которых система имеет более двух решений. …В каждой из закрашенных областей оба модуля раскроем со знаком «+», уравнение (1) имеет вид: , ( )( ) = 0. 32

Слайд 33

Метод областей 7. Найдите все значения a , при каждом из которых система имеет более двух решений. …В каждой из закрашенных областей оба модуля раскроем со знаком «+», уравнение (1) имеет вид: , ( )( ) = 0. Все решения этого уравнения изобразим точками прямых и 33

Слайд 34

Метод областей 7. Найдите все значения a , при каждом из которых система имеет более двух решений. …Внутри центральной области оба модуля раскроем со знаком « », уравнение (1) имеет вид: , . 34

Слайд 35

Метод областей 7. Найдите все значения a , при каждом из которых система имеет более двух решений. …Внутри центральной области оба модуля раскроем со знаком « », уравнение (1) имеет вид: , . Все решения этого уравнения изобразим точками прямой 35

Слайд 36

Метод областей 7. Найдите все значения a , при каждом из которых система имеет более двух решений. …Теперь рассмотрим одну область (выделена цветом). Первый модуль раскроем со знаком « », второй со знаком « », уравнение (1) имеет вид: , . 36